Matematicando in classe terza . (14) Dalla quantità alla misura: come ti misuro il mondo!

Premessa. Si arriva in classe terza con una serie di conoscenze pregresse, maturate nell’esperienza quotidiana ma anche in aula attraverso laboratori sulla misura effettuati in prima e seconda, che consentono di impostare senza grandi difficoltà il lavoro da introdurre in classe terza e da sviluppare nelle classi successive. Il passaggio dalle misure arbitrarie a quelle convenzionali dovrebbe essere vissuto in maniera spontanea dai bambini attraverso la sperimentazione diretta e la manipolazione di strumenti di misurazione. Questo tipo di percorso – effettuato dalla prima e sviluppato in seconda – ha consentito ai bambini di misurare lunghezze e altezze attraverso strumenti inventati da loro o con oggetti della vita quotidiana (ma anche con parti del corpo come piedi, mani… ), utilizzare bilance create ad hoc con grucce o bastoni e spaghi per confrontare pesi di oggetti, sperimentare con contenitori di varie dimensioni per intuire il concetto di capacità ed effettuare le prime equivalenze intuitive (una bottiglia d’acqua equivale a tot bicchierini di plastica). Due anni trascorsi a misurare senza utilizzare i sistemi di misura del sistema internazionale ma intuendone la necessità. Certo… abbiamo capito come misurare il tempo utilizzando le ore, i minuti e i secondi (imparando a leggere l’orologio analogico) e anche a compiere semplici calcoli con l’euro divertendoci a fare i cambi con monete e banconote… ma da quest’anno ci siamo imbattuti in altre novità: le misure di lunghezza, di peso/massa e di capacità. C’è da dire che grazie alla geometria, e all’introduzione della riga per disegnare semplici figure geometriche piane e solide sul nostro quaderno, abbiamo imparato a misurare in centimetri (“Adesso disegniamo una linea orizzontale lunga 6 centimetri”) e a compiere le prime intuizioni con le misure convenzionali attraverso situazioni laboratoriali ma il passaggio concreto avviene naturalmente dopo l’acquisizione di passaggi guidati e necessità stimolate. Non meno importante, vedrete, è stato lavorare sul valore posizionale delle cifre e operare le prime equivalenze proprio tra unità, decine, centinaia e migliaia! Ma facciamo un piccolo punto della situazione…

Che cos’è la misura. Ci viene quasi spontaneo pensare alla misura come qualcosa di quotidiano che operiamo costantemente: quando cuciniamo, quanto facciamo acquisti, quando indichiamo grandezze che gli altri devono comprendere, per fare semplici e veloci esempi. Per farlo abbiamo bisogno dei numeri ma soprattutto una serie di convenzioni fissate da noi esseri umani. Infatti è vero che la misura è legata concretamente alla realtà (e quindi facilmente comprensibile anche ai bambini) ma allo stesso tempo si rifà ad ambiti legati all’astrazione, all’interpretazione e ancora a modelli concreti creati dall’uomo e tipicamente tecnici. Ogni volta che dobbiamo misurare qualcosa dobbiamo quindi precisare sempre il punto di vista secondo il quale noi stiamo formulando la nostra misurazione definendo quindi una grandezza ma precisando di quale grandezza si tratta. Inevitabilmente il concetto di misura rimanda a quello di grandezza.

Sino ad ora abbiamo sempre indicato numeri che ci riconducevano a quantità generiche di qualcosa: 12 ad esempio. A seconda dei casi il 12 poteva esprimere in maniera astratta l’addendo che andava sommato ad un altro; poteva far parte di una uguaglianza come 2 x 6 = 12 oppure 15 – 3 = 24 : 2 (esprimendo quella quantità in termini diversi ad esempio); poteva corrispondere ad una quantità di caramelle, alunni, fiori e via dicendo. Ci siamo spinti oltre scomponendo le cifre del 12 dicendo che 2 sono unità e 1 è la decina (ossia che il 12 è composto da una decina e due unità). Ma se quel 12 rappresenta una lunghezza o un peso, ad esempio, le cose cambiano: un conto è dire che ho raccolto nel mio campo 12 cipolle mentre un altro è dire che ne ho racconto ben 12 kg! Nel primo caso esprimo quantità mentre nell’altro una grandezza. Sono esempi di grandezze: gli intervalli di tempo, il volume, la lunghezza, il peso…

Unità di misura e sistema internazionale. Senza entrare in merito a concetti matematici complessi che esulano dal mio intento e dalla didattica pronta all’uso che metto a disposizione in questo blog, cerchiamo di definire il significato matematico di misura di una grandezza. Partiamo dal presupposto che posto un insieme G di grandezze… una grandezza detta unità di misura (“u” che sia diversa da 0) chiamiamo misura di una grandezza “a” di G rispetto ad “u” il numero reale (razionale o irrazionale) che esprime il rapporto a/u. La scelta dell’unità di misura ha conseguenze pratiche che consentono a chi utilizza quelle unità stesse di poter operare confronti comprensibili e condivisi convenzionalmente senza bisogno a dover ricorrere a misure arbitrarie difficilmente utilizzabili. Ecco perché il nostro sistema internazionale di misurazione diventa fondamentale. Con i bambini ci siamo soffermati parecchio con esempi pratici di situazione reale immaginando di andare a comprare stoffe misurate ad avambracci (ma di chi? Della maestra? Del venditore? Di un alunno o del figlio del presidente della repubblica?) o acquistare mele che avessero un peso uguale a quello di 25 gomme messe insieme (come la gomma di Valery che è bella grosso o come quella che ha nell’astuccio Gabriele che è piccolissima?) per arrivare alla naturale conclusione che è necessario avere punti di riferimento STABILI, RICONOSCIBILI E RICONOSCIUTI, SCELTI DALLA COMUNITÀ SCIENTIFICA.

Misurare attraverso unità di misura poi può esser fatto in diversi modi: con la misurazione diretta (con il campione dell’unità di misura confrontata con la grandezza da misurare); misurazione strumentale (utilizzando degli indici di riferimento e gli indicatori); misurazione indiretta (attraverso calcoli e quindi con una misura ottenuta mediante operazioni aritmetiche). Inoltre bisogna sempre misurare tenendo conto della sensibilità dello strumento utilizzato per la misura, la portata e la precisione.

Sul Sistema Internazionale di Unità (SI) ricordiamoci che fanno riferimento tutte le unità di misura convenzionali stabilite che sono state adottate (non senza subire modifiche negli anni) nel 1960 durante la XI Conferenza Generale di Pesi e Misure. Le grandezze fondamentali sono espresse in unità di misura e simbolo (ad esempio la grandezza Lunghezza, con unità di misura metro e simbolo m) e conseguenti multipli e sottomultipli. Ci sono poi alcune regole da ricordare:

  • L’unità di misura non accompagnata dal valore numerico si scrive per esteso (ho percorso pochi metri).
  • L’unità di misura segue il valore numerico cui si accompagna, senza il punto, (3 m) escluso per i valori monetari ( € 4).
  • Il simbolo del chilogrammo è k minuscolo.
  • Per i simboli delle misure di tempo indichiamo: 14h 27min 44s
  • La scomposizione di grandi numeri in cifre da tre non va indicata con il punto separatore ma con uno spazio e la virgola (se c’è): 1 234 007, 14
  • Sono ammesse, anche se non più utilizzate dal SI, le tonnellate.

Progettazione didattica. Mentre in prima e seconda abbiamo lavorato, come ho già detto, con attività di premisura e di misura con unità arbitrarie dalla terza, e sino al termine del ciclo primario, vengono introdotte le unità di misura convenzionali per le grandezze fondamentali e si opera con alcune grandezze derivate, come il sistema monetario. La progettazione va fatta partendo sempre dalle esperienze concrete di vita vissuta del bambino nei confronti della misurazione e utilizzo di grandezze conosciute e già note in modo da operare una consapevolezza e generare anche interesse e motivazione all’apprendimento. Non bisogna però trascurare alcuni aspetti importanti. La programmazione delle nostre attività deve partire dall’esplicitazione delle caratteristiche che deve avere una proprietà per essere oggetto di misura (ossia: perché è una grandezza?) senza dimenticare la distinzione tra grandezze diverse (differenza tra peso e volume) o denominazione della stessa grandezza in termini diversi (lunghezza e larghezza, ad esempio), ma anche volume e capacità!). Importante non trascurare la dimensione sperimentale con le misure richiamando costantemente in causa le conoscenze pregresse o proponendone di nuove che lascino spazio a approfondimenti, dubbi, domande e risposte. Il bambino dovrà essere in grado distinguere una grandezza dalla propria misura e noi dobbiamo rendere significativa la costruzione di un sistema di unità di misura convenzionale che sia di riferimento anche per effettuare le prime equivalenze. Non trascuriamo le regole di buona scrittura delle stesse e le norme in uso dal SI.

Il percorso sulle misure, partendo dalla realtà, deve consentire di sviluppare un atteggiamento critico nei confronti della stessa al fine da operare con alcune grandezze in modo particolare: lunghezza, peso, capacità, tempo e sistema monetario (previste per la classe terza).

Nel percorso che mi appresto a documentare (intrapreso nell’arco di alcune settimane) non mi soffermo a descrivere le conoscenze pregresse maturate nei miei alunni dalla classa prima attraverso laboratori ed esperienze dirette con le misure arbitrarie. Il lavoro che abbiamo intrapreso ha certamente visto anche quest’anno l’utilizzo di oggetti misurabili e strumenti di misura, attività mirate alla LIM con tabelle e schemi interattivi, strumenti compensativi per l’esecuzione di semplici equivalenze, esercizi su libro La linea del 1000 e il relativo software, situazioni problematiche e giochi con le misure.

La nostra esperienza in classe terza: misure di lunghezza, peso, capacità, tempo. Maestra, ma oggi ci insegni le… le… equazioni?” – “No, per quelle dovrai aspettare diversi anni. Oggi vi faccio vedere come sapete già fare le equivalenze!” – “Ma io non le so fare… non so neanche cosa siano!” – “E invece dai retta a me. Aprirai il quaderno e scriverai subito delle equivalenze!” Siamo ancora nell’androne per metterci in fila e salire in aula quando i miei alunni mi circondano curiosi. La settimana prima avevo anticipato i nostri obiettivi. Questa abitudine è una prassi consolidata per noi. Mi piace stabilire periodicamente con loro i traguardi, progettare i nostri tempi, anticipare ciò che scopriremo e creare delle aspettative, suscitare curiosità. E funziona. Molti di loro ricordano le mie parole e aspettano con ansia il giorno in cui si spiegherà un argomento che magari durante l’anno è stato spetto nominato “Ah… non appena sarete bravi in questo vi presenterò un argomento da grandi…” oppure “Beh, questo non dovrei dirvelo… perché ne parleremo tra alcuni mesi… ma ricordatevi questa parola…” e la scrivo alla lavagna e magari offro qualche anticipazione. Questi piccoli e semplici siparietti (l’ho capito con il tempo e l’esperienza vedendo) generano motivazione: loro si sentono partecipi al processo d’apprendimento e allo stesso tempo hanno la sensazione che i traguardi vengano raggiunti insieme… maestra compresa. Tutto ciò che facciamo tra i banchi viene sfogliato come se fosse un libro, pagina dopo pagina… e qualche volte… sbirciare nell’indice per vedere cosa ci sarà dopo è un qualcosa di irresistibile.

Quando arriva il giorno delle equivalenze sono tutti curiosi e pronti. Ma si sentono un po’ frastornati quando alla lavagna scrivo “Equivalenze? Le sappiamo già fare!!!”. In realtà voglio soltanto far comprendere cosa s’intende con il termine EQUIVALENZA (in matematica, si dice equivalenza ogni relazione binaria tra coppie di elementi di un dato insieme che verifichi le tre proprietà formali riflessiva, simmetrica, transitiva) senza entrare ancora nel merito delle misure. Infatti non ho ancora introdotto le marche di misurazione ne tanto meno parlato di sistemi di misurazione delle varie grandezze. Per spiegare le equivalenze parto da ciò che i bambini conoscono e sanno già fare. Prima di tutto loro sono già abituati a lavorare con valori che corrispondono tra loro o si equivalgono. Per fare questo scrivo alla lavagna semplici esempi che partono dalla loro conoscenza. Se io scrivo 2 + 3 so bene che posso dire che è uguale a 5. Posso esprimere questa grandezza (che nel nostro caso si è sempre riferita a quantità) in due modi: dicendo che voglio 5 penne (ad esempio) oppure che voglio 2 penne più altre 3 penne. Andiamo avanti cercando altri esempi in cui abbiamo uguaglianze diverse e sperimentiamo alla lavagna. Questo modo di operare, anche se ovviamente senza incognite, ha un po’ il sapore delle equazioni e si porta dietro delle piccole espressioni algebriche… ma per ora ciò non è importante. Ciò che a me interessa è che in questa fase i bambini focalizzino la loro attenzione con quello che facciamo dalla prima: manipolare quantità numeriche in modi diversi facendo in modo che gli enunciati siano sempre veri. È vero questo enunciato: “2 + 4 = 3 x 2” ? Sì, alla destra e alla sinistra dell’uguale i valori si eguagliano, sono equivalenti. Giochiamo ancora un po’ e propongo un’altra riflessione: “Se io vi chiedo di mettere sulla mia cattedra una decina di penne quante me ne portate?” – “Dieci!” – “Possiamo dire che dire 1 da = 10 u?” Comprendono subito che abbiamo già operato in questo modo. Quante volte abbiamo svolto esercizi di questo tipo? “Bambini sappiamo che il valore 100 lo posso esprimere dicendo che 100 u = 10 da = 1 h ma se vi chiedo quante migliaia ci sono?” Rispondono ovviamente ZERO e allora io scrivo 0 k quindi 0,100 in cui 0 sono le k, 1 le h, 0 da e 0 u. Quante volte abbiamo già ragionato in questi termini? Tantissime.

A questo punto apro la LIM. Ho preparato una semplice tabella che evidenzia il valore posizionale delle cifre. La stessa tabella la riproporrò con i simboli appositi per metro, kilogrammo e litro ma per ora lavoriamo semplicemente con ciò che conosciamo. La tabella alla LIM mi ha consentito di creare anche un piccolo cursore spostabile ispirato allo strumento presente nel libro della linea del 1000 di Bortolato. Ma prima lavoriamo alla LIM. Ecco la pagina che ho presentato:

Abbiamo giocato alla LIM spostando il cursore e verificando quanto visto in questi mesi soprattutto con la scomposizione dei numeri in valori posizionali. Ci siamo soffermati su come inserire bene le cifre ricordandoci che l’ultima cifra a destra corrisponde sempre al valore indicato per quanto riguarda i numeri interi ( 13 u –> il 3 sono unità) mentre alla cifra prima della virgola per i numeri decimali ( 13, 6 d –> il 3 sono decimi). Di questi esercizi in cui si deve riconoscere il valore della marca indicata ne faremo diversi anche con il metro, il kilogrammo e il litro perché consentono di avere subito chiaro dove sistemare idealmente il numero. Non eseguiamo in maniera solo meccanica gli esercizi ma richiamo la loro attenzione anche a quanto scoperto e manipolato coi BAM. Infatti queste semplici equivalenze sono facilmente verificabili anche con quanto appreso precedentemente. Nella matematica tutto torna e lo dimostriamo subito in modo che i bambini abbiamo la sensazione di lavorare con qualcosa di concreto e non solo astratto. “Impariamo ad esprimerci in modo diverso senza stravolgere il significato che intendo”! Ecco alcuni semplici esempi alla LIM.

Spostando il cursore si sposta anche la virgola. Se dopo la virgola compaiono delle cifre le prendiamo in considerazione altrimenti no. Se invece restano degli spazi vuoti li riempiamo con gli zeri. MA perché? Facciamo esempi concreti. La quantità 3 decimi a quante unità equivale? 0,3. Questo è facilmente dimostrabile perché sappiamo che i decimi sono la decima parte di un intero (la nostra unità). Riprendo gli esempi fatti quando abbiamo visto il passaggio tra frazioni e numeri decimali e con i disegni semplici alla lavagna (un intero a indicare l’unità frazionato in 10 parti uguali e presi solo 3 piccoli pezzetti – i decimi – il gioco è fatto). “E con i centesimi?” I bambini ricordano che il centesimo è la centesima parte dell’unità e quindi tutto procede per il meglio. Faccio notare che quanto stiamo vedendo insieme con il valore posizionale delle cifre verrà fatto allo stesso modo con le misure. Infatti, essendo il nostro un sistema metrico decimale che si porta dietro sempre questo modo di operare, anche con il metro (quindi con le misure di lunghezza) il ragionamento non cambia. Riporto alla loro memoria il laboratorio fatto alcuni mesi fa e tutto riemerge con stupore. Dopo aver lavorato alla LIM, sul libro di testo e anche sul libro della Linea del 1000 (con lo strumento apposito e poi senza) e il software possiamo finalmente introdurre le misure di lunghezza. Questo passaggio (dopo pochi giorni avviene in modo spontaneo e ripartendo proprio dal laboratorio fatto quest’anno a cui mi riferivo poche righe fa ma tenendo anche conto delle conoscenze pregresse maturate nei laboratori svolti in prima e seconda (in cui abbiamo misura qualsiasi cosa), nelle attività sul quaderno di geometria dove ci siamo cimentati ad usare la riga e a misurare utilizzando il centimetro e i millimetri, nell’esperienza concreta quotidiana.

Ogni settimana ho presentato una grandezza e le relative misure sempre utilizzando lo stesso sistema. Sono partita dalle esperienze e conoscenze pregresse, facendo esempi concreti agganciati a situazioni problematiche e presentando poi la tabella di riferimento. Ecco quella del metro

Nel loro quaderno – ma devo ammettere di averci lavorato davvero poco privilegiando invece software, LIM e libro – hanno anche indicato i riferimenti ai valori (ad esempio che il millimetro è la millesima 1/1000 di un metro) e facendo esempi concreti da quanto a nostra disposizione (il metro ad esempio). Gli esercizi avvengono in modo spontaneo e si tratta di capire come spostare la virgola (ma con il cursore imparano subito) e quando inserire gli zeri. I dubbi si dipanano con la pratica e ben presto non mancano i commenti “Maestra, le facciamo le equivalenze… che sono facili?” Lo strumento della Linea del 1000 lo usiamo ben poco perché non appena scatta la scintilla del meccanismo da seguire diventa molto più pratico lavorare senza. Mi prendo la libertà di scrivere alla lavagna sempre la tabella con le misure in modo che velocemente, i bambini che ancora non hanno memorizzato la sequenza, possano dare uno sguardo e procedere con l’esercizio senza insicurezze o dubbi. Propongo anche qualche semplice problema a partire soprattutto dalle misure di lunghezza e loro lavorano sereni. Procediamo allo stesso modo per le misure di peso e per quelle di capacità. Nella Linea del 1000 ci sono, oltre ad una serie di equivalenze mirate, anche molti problemi illustrati fatti ad hoc per consolidare quanto appreso. Sulle misure di peso ne approfitto per introdurre anche il peso lordo, il peso netto e la tara lavorando così su altre competenze. Inoltre mi piace utilizzare le grandezze di peso per approfondire anche il discorso del prezzo unitario e prezzo complessivo e fare semplici problemi sul prezzo al kilo ad esempio… o altri casi interessanti come questo proposto sempre da Bortolato:

Ecco l’attività direttamente dal quaderno dei bambini, sul peso lordo, netto e tara.

Concludo il mio percorso con le misure di tempo. Posto che i bambini sanno già operare con queste misure dallo scorso anno e leggono l’orologio analogico abbastanza bene… mi concedo il lusso di proporre una lezione “ricreativa” per cavalcare l’onda della curiosità e far scoprire nuove cose. In modo particolare mi soffermo sulla storia degli strumenti di misurazione del tempo. Prendo spunto da un articolo letto in un blog che seguo e che trovo molto interessante “La matematica non morde” e l’articolo è Misurare il tempo. Propongo il percorso tra storia e misure riportato nel post a tutta LIM (riadattando ad hoc qualcosa nella mia lezione) mentre i bambini prendono appunti sul quaderno. Poi decido di introdurre un elemento in più e presento questa pagina:

E ripassiamo un po’ quanto appreso. La funzione gratta&vinci della LIM piace sempre 😉 dopodiché chiedo se secondo loro possiamo andare oltre. Ricordano che 100 anni sono un secolo quindi che le centinaia di anni si chiamano secoli. Ma il resto? A questo punto svelo loro che scopriremo esattamente il riferimento cronologico attuale. Sanno che ci troviamo nel 21esimo secolo, ma poi? Ecco come li lascio a bocca aperta:

E dopo questo viaggio nel tempo non ci resta che sognare. “Musica maestra…” – dico io “Perché il tempo per la musica è tutto!” Così clicchiamo su una bella chitarra elettrica a tutta LIM e un link ci porta nella magia: ci godiamo il video dei Pink Floyd Time lasciandoci dondolare dalla melodia e dal testo (ebbene sì, proietto pure il testo in lingua originale e poi la traduzione… molto intenso e suggestivo!).

Ovviamente il percorso sulle misure è solo all’inizio. L’anno prossimo, in quarta, ci sarà da affinare quanto appreso e le cose si faranno più succulente e gustose. Ci aspettano laboratori problematici che per ora non oso anticiparvi 😉 Adesso il nostro pensiero ricorrente è: Vacanze!

 

 

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