Geometria in classe terza. (4) Dagli angoli ai poligoni… sino al perimetro

In questo anno scolastico abbiamo dedicato un’ora alla settimana alla geometria quindi siamo riusciti a sviluppare tutti gli argomenti proposti nel libro di testo e andare anche oltre con le nostre riflessioni. In modo particolare ci siamo divertiti con la geometria intuitiva (osservando le figure e la realtà per arrivare a considerazioni geometriche che poi diventavano i nostri “postulati”) e con esercizi geometrici vari anche con le misure. Dopo aver trascorso diverse settimane con gli angoli  e imparato ad utilizzare il goniometro ho deciso di far classificare loro i triangoli per arrivare al concetto di poligono. I triangoli sono stati il ponte naturale per passare dagli angoli ai poligoni. Perché? Perché arrivati alla classificazione degli angoli abbiamo iniziato a guardarci intorno e riflettendo sui lati delle figure geometriche piane conosciute ci siamo soffermati sul triangolo. La parola triangolo infatti ci ha suggerito immediatamente, dal suo nome, che gli angoli sono tre e, conseguentemente (perché gli angoli non sono altro che l’incontro di due segmenti… nel caso delle figure geometriche li chiamiamo lati), tre lati! Ci siamo domandati quanti triangoli ci fossero… visto che con il tempo e l’osservazione ci siamo abituati a vederne diversi. E proprio da queste curiosità che è nata la mia lezione “Si fa presto a dire triangolo!”.

Premetto che di norma si presentano i poligoni e poi si procede con le classificazioni delle varie figure. Io ho deciso di partire dai triangoli perché è nata la curiosità di osservarli ma allo stesso tempo, questa spinta motivazionale, mi ha permesso di ripassare tutta una serie di aspetti che sapevo sarebbero riaffiorati con i poligoni e i non poligoni. I bambini in terza conoscono già le figure e hanno già ben capito che in base al numero dei lati hanno determinati nomi. Quando infatti ho proposto questo esercizio

che consiste nel disegnare un angolo, prendere il goniometro, misurarne l’ampiezza e poi in base ai gradi misurati indicare il tipo di angolo in base alle proprio conoscenze, molti bambini mi hanno chiesto se quelli erano pezzi di triangolo oppure mi facevano notare che se avessimo aggiunto un lato li avremmo potuti ottenere. “Per essere un triangolo dovremmo certamente disegnare un altro segmento… ma basterebbe questo? Avete mai pensato alle caratteristiche di un triangolo? Pensiamo alle linee aperte e chiuse ad esempio“. I bambini ricordano che le figure geometriche piane sono formate da linee chiuse e, attraverso quello che sino a poco tempo fa abbiamo definito CONFINE, definiscono una regione interna e una esterna. Questo non accade nei segmenti consecutivi che abbiamo disegnato (soltanto due) e che non consentono di “chiudere il confine”. Da questo siamo arrivati a scoprire che non può esistere una figura piana che sia formata da soli due segmenti consecutivi ossia da due lati ma ce ne vogliono almeno tre. Quindi i lati e, di conseguenza gli angoli, minimi per una figura geometrica sono tre. Siamo arrivati ad una definizione condivisa da tutti e decidiamo di fissarla sul nostro quaderno. Però i triangoli, pur avendo tre lati sembrano spesso diversi. “Quando osserviamo il quadrato, ad esempio, notiamo che ha quattro lati che sono sempre uguali e gli angoli invece?” – Gli angoli, notano loro, sono tutti retti come nel rettangolo… che si chiama così perché ha proprio gli angoli retti (anticipo loro che anche il quadrato è un rettangolo speciale). Nel rettangolo però i lati sono sempre a due a due uguali mentre nei triangoli possono essere diversi. Parte così la nostra prima classificazione… proprio con le caratteristiche dei lati. Ne disegniamo uno con i lati tutti uguali (ossia della stessa lunghezza) scoprendo che si chiama equilatero (da aequus… uguale e latus… lato) e per esserne certi ci avvaliamo della riga come abbiamo imparato a fare. Lavoriamo così, scoprendo le tre tipologie di triangolo, ecco il lavoro su un quaderno (non badate agli errori):

Ci abituiamo anche a indicare gli angoli con dei piccoli trattini per evidenziare quelli uguali e quelli diversi.  Una buona prassi è anche quella di far disegnare triangoli “a testa in giù” (scusate il termine poco scientifico ma son certa di essermi spiegata al meglio) in modo che nei bambini non si formi la misconcezione che sono triangoli quelli disegnati con la base in basso e un vertice in alto. Ovviamente ci ricordiamo che la parola triANGOLO ci indica l’importanza degli angoli. “Come nel rettangolo e nel quadrato… possiamo avere tutti gli angoli retti?” Proviamo invano a disegnare ma niente. Di angoli retti al massimo riusciamo a disegnarne uno. “Ecco, quel triangolo che possiede una angolo retta si chiama triangolo rettangolo. E gli altri due angoli come sono?” I bambini osservano e rispondono che sono acuti. Io rilancio chiedendo se sia possibile disegnare un triangolo che ha solo angoli acuti. I bambini mi dicono di averne già disegnati anche prima… con gli altri triangoli. “Esattamente. Quel triangolo che è equilatero dal punto di vista dei lati è anche acutangolo dal punto di vista degli angoli. Infatti i triangoli che hanno tutti gli angoli acuti son detti acutangoli“. Procediamo così sino a scoprire l’ottusangolo (con un angolo ottuso… nessuno di più… e provando a disegnarlo ce ne rendiamo conto) e sul quaderno fissiamo le nostre scoperte così:

Concludo la lezione stimolando una curiosità e quindi annunciando che tutti i triangoli sono POLIGONI. “Maestra, ma cosa sono i poligoni?” Lo scopriremo nella prossima puntata, faccio io.

Quando arriva la nuova lezione di geometria sento la necessità di richiamare in causa il concetto di confine e regione interna già riemerso con i triangoli e ripartire proprio dalle considerazioni precedenti. Ci siamo lasciati concludendo che i triangoli sono poligoni e quindi dobbiamo scoprire perché. Riprendiamo le caratteristiche dei triangoli: linea chiusa, spezzata, hanno tre segmenti consecutivi (numero minimo di lati per una figura piana) e tre angoli. Proviamo a disegnare altre figure…

Osservando bene notiamo alcuni punti in comune rispetto a diverse figure mentre altri completamente differenti. Il nostro punto di partenza è il triangolo quindi cerchiamo tutte le figure che hanno le caratteristiche simili a quelle del triangolo (che sappiamo essere un poligono): lati consecutivi, angoli, linea chiusa… I bambini individuano quelle figure che, secondo loro non possono essere simili ai triangoli quindi non sono poligoni: eliminano le linee aperte, eliminano quelle curve (“Maestra, e come possiamo sapere quanti sono i lati? E poi non ci sono angoli!“) e pure quelle intrecciate (“Mmm… generano confusione” dicono loro). Le loro conclusioni talvolta nascono spontanee mentre altre vengono stimolate da me, con domande atte a generare dubbi e riflessione. Finalmente giungiamo ad una conclusione e a una definizione condivisa. Possiamo così provare a distinguere i poligoni dai non poligoni:

Dopo aver scritto e disegnato sul quaderno facciamo un gioco alla LIM. Chi è alla lavagna dovrà disegnare un poligono o un non poligono in base a quanto richiesto da chi è al posto. Oppure dovrà disegnare lui una figura a piacere e chiedere a chi è al posto se è un poligono o no. E il gioco è fatto. Mi pare che nessuno abbia più alcun dubbio.

Per consolidare quanto appreso sui poligoni rilancio un’attività classica:disegniamo, nominiamo e indichiamo le caratteristiche di alcuni poligoni noti. Il lavoro è semplice. Io alla LIM e loro ai quaderni. Prima riflettiamo alla LIM e poi appuntiamo sul quaderno. Inizio a guidarli io e poi chiedo di procedere in autonomia dopo aver capito come analizzare le figure. Ecco la prima pagina di lavoro:

Anche in questo caso usiamo i trattini per segnare lati uguali o diversi e utilizziamo colori differenti per gli angoli in base alla loro classificazione. I giochi si fanno interessanti quando, dopo aver disegnato il rettangolo ci spingiamo al rombo (spesso oggetto di confusione) e il parallelogramma. Il rombo infatti viene spesso confuso con il quadrato disegnato per il vertice in basso. O meglio, quando i bambini vedono un quadrato disegnato in questo modo (prima figura a sinistra) tendono a definirlo come rombo (un esempio di rombo è invece la figura accanto).

In realtà osservando le figure con attenzione e scoprendo le caratteristiche dei lati e degli angoli notiamo delle differenze: il quadrato ha 4 lati uguali, angoli retti, i lati opposti paralleli e le segnando le diagonali esse sono perpendicolari; il rombo ha 4 lati che non sempre sono uguali (pensiamo agli aquiloni), gli angoli non sono retti (due sono acuti e due ottusi), i lati opposti sono paralleli e le diagonali perpendicolari. E come la mettiamo con il parallelogramma che sembra un rettangolo un po’ piegato (a detta dei bambini)? E anche qui emergono delle differenze interessanti. E il trapezio? Lavoriamo così sino a fare le nostre interessanti scoperte e mettendo a punto le nostre competenze.

Il passo successivo è la scoperta del perimetro. In classe terza si precede di introdurre il concetto di perimetro come confine e procedendo ad una misurazione dello stesso basata sull’utilizzo di piccoli segmenti (su base quadrettata). In effetti i miei alunni conoscono bene il concetto di confine e hanno ben metabolizzato anche le caratteristiche delle principali figure piane. Alcuni mesi fa ci capitò di dover calcolare la misura del perimetro (non ricordo quale fu il caso ma avvenne del tutto in maniera spontanea e intuitiva): avevamo disegnato un quadrato e misurato il lato. In quel momento decisi di cavalcare l’onda e chiesi “Bambini, guardate bene la figura. Se noi sappiamo che un lato misura 3 centimetri e vogliamo sapere quanto misura tutti i lati insieme… come possiamo fare?” . Arrivare al 3 x 4 è spontaneo. “In questo modo abbiamo appena calcolato il perimetro senza saperlo. Prendete questa parola nuova e segnatela nella vostra mente. Tra qualche tempo la rincontreremo!” E quel giorno arriva presto.

Questa volta cerchiamo di partire dalla parola PERIMETRO e ci rifacciamo alla sua etimologia e poi partiamo subito con degli esempi. Per il momento lasciamo da parte la riga e le misure convenzionali ma usiamo invece un’unità di misura arbitraria: il segmentino della quadrettatura del quaderno. Faccio vedere alla LIM come fare con alcuni semplici esempi. Imparano immediatamente e capiscono che si può arrivare alla soluzione in due modi: o moltiplicando o addizionando. Ecco i nostri primi esempi semplici:

Nel primo caso proposto abbiamo contato e ci siamo resi conto che l’operazione era molto lunga e noiosa. Qualche bambino però ha iniziato a elaborare delle ipotesi di calcolo che sono diventate chiare a tutti con gli esempi successivi. Nel quadrato abbiamo scelto l’ipotesi più comoda (la moltiplicazione del numero segmentini del lato per il numero dei lati) sapendo che avremmo potuto operare anche con una addizione ripetuta. Poi ci siamo divertiti a trovare soluzioni anche con poligoni differenti cercando nuove strategie e operando sempre con i segmentini. Mi riferisco al secondo caso proposto subito qui sotto in cui non dobbiamo far altro che immaginare quella figura come un rettangolo spostando idealmente i lati. Nel software della Linea del 1000 ci sono una serie di esercizi di questo tipo (ne abbiamo fatti diversi) in cui lo spostamento si vede con una breve animazione e i bambini capiscono subito quale strategia utilizzare. Solo dopo aver lavorato coi segmenti ci muniamo di riga e iniziamo ad operare con le misure. Non cambia assolutamente niente. Per rendere la cosa più gustosa propongo anche un piccolo problema geometrico: sono tutti molto eccitati! Ecco il nostro lavoro sul quaderno prima di passare agli esercizi sulla Linea del 1000:

Dal Quaderno di Geometria classe Terza

Con il perimetro terminiamo quasi ufficialmente il nostro percorso di geometria. In realtà ho poi accennato (dal libro di testo e solo utilizzando la quadrettatura) il concetto di superficie (come regione interna misurabile attraverso l’area) e partendo da un racconto dal libro “Che scoperta! Storie di idee fulminanti!“, un testo che uso spesso e che consiglio. In questo caso siamo partiti dalla storia di Didone che fonda la sua Cartagine grazia alla lunghissima pelle di bue con la quale riuscì a circondare un’area vasta da poter occupare con il suo popolo.

Ma la geometria non finisce qui: questo pomeriggio ci aspetta il laboratorio delle simmetrie con il pesce al profumo di vacanze! Ma ve lo racconto e documento  prossimamente 😉

 

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