Matematicando in classe quarta. (3) Grande ripasso di addizione e sottrazione con un occhio di riguardo alle proprietà

Dopo aver affrontato i numeri grandi oltre le unità di migliaia ci concediamo un po’ di ripasso su addizione e sottrazione affinando soprattutto il calcolo mentale grazie alle proprietà. Addizione e sottrazione, presentate negli anni scorsi (che trovate nei post pubblicati sul sito e sui quaderni), vengono riprese focalizzando subito l’attenzione su alcuni aspetti chiave che ho chiamato “La carta d’identità di addizione e sottrazione”: quando la usiamo, quanti e come si chiamano i rispettivi termini e il risultato, come operiamo in colonna, che valore assume lo zero, quali sono le proprietà che ci aiutano a svolgere calcoli veloci senza lavorare in colonna.

L’addizione è la prima operazione che decido di presentare. Prima di arrivare al libro di testo introduco insieme a loro l’argomento cercando di riportare alla luce le informazioni che già conoscono e chiedendo loro di tornare indietro con la memoria. “In quali situazioni ci può essere utile l’addizione? Perché la usiamo? Cosa accade alle quantità prese in considerazione?“. I bambini ricordano bene quando è necessario far ricorso all’addizione e ricordano anche che presa una quantità iniziale questa risulterà “aumentata” (avrà un valore maggiore) se ad essa ne viene aggiunta un’altra. L’addizione infatti ha il potere di accrescere le quantità considerate. Riflettiamo anche sul valore dello zero, che nell’addizione è neutro a differenza della moltiplicazione dove risulta nullo. A questo li faccio arrivare da soli attraverso una piccola riflessione e sono ben contenta che riescano ad afferrare subito il senso del discorso. Proseguiamo poi facendo alcuni esempi veloci sul valore accrescitivo. “Come abbiamo lavorato in prima per riflettere sull’addizione e il suo significato?” Ai bambini è rimasta soprattutto in mente la mia macchina delle addizioni (che tiro fuori dall’armadio per mostrarla anche a chi in prima ancora non c’era) ma piano piano ricordiamo gli insiemi unione, i regoli e la linea dei numeri. Proviamo a pensare alcune situazioni problematiche e a risolverle velocemente alla lavagna. Nel frattempo faccio domande come: “Quanti termini può avere l’addizione? Come si chiamano? E il risultato che otteniamo com’è detto?“.  Ricordano bene tutto… anche che gli addendi possono essere quanti ne occorrono. Ci dedichiamo velocemente (perché ci torneremo in un secondo momento) sull’algoritmo di calcolo in colonna ricordando che è importante incolonnare bene il valore posizionale delle cifre, prenderle in considerazione a partire dalle unità per poi procedere verso sinistra senza dimenticare i riporti. Nella prima lezione sulle addizioni ricordiamo velocemente anche le proprietà. Tra queste sanno a memoria (perché la sanno applicare con estrema facilità) quella commutativa. Hanno presente cosa significa commutare, ricordano che questa proprietà è comoda quando abbiamo due addendi e magari preferiamo considerare prima quello dal valore maggiore, ma anche quando dobbiamo effettuare la prova dell’addizione. Rivediamo insieme anche la proprietà associativa e dissociativa grazie ad una serie di esercizi mirati sul nostro libro. Alla lavagna continuo comunque a fare esempi che sorgono in corso d’opera guidati soprattutto dalle loro domande o dai loro dubbi. In classe, i bambini che hanno dubbi o fanno domande o hanno intuizioni sono una grande risorsa per tutti perché mi consentono di imbastire esempi, sollevare questioni e sviluppare ragionamenti. Lavoriamo ancora per un po’ e ci salutiamo con alcuni esercizi per casa che ci serviranno per impostare la lezione seguente.

Quando ci rivediamo dedichiamo alcuni minuti alla correzione dei compiti che sembrano andati bene. Alcuni dubbi sono legati soprattutto alla proprietà dissociativa ma li rassicuro spiegando che in quella giornata avremo rivisto insieme tutto. Cerco soprattutto di far comprendere loro che le proprietà non devono essere studiate perché sono io a richiederlo ma perché in effetti servono e quindi è bene conoscerle. “Oggi vi renderete conto, ma spesso ve l’ho fatto notare, che molti di voi già le usano con dimestichezza. Sono proprio loro che vi consentono di operare velocemente in riga o a mente senza bisogno di incolonnare. Cercheremo solo di essere più consapevoli di ciò che abbiamo a nostra disposizione.” Ovviamente non tutti utilizzeranno sempre e comunque tutte le proprietà. Magari alcuni si troveranno meglio con una proprietà rispetto ad un’altra, altri proprio non troveranno congeniale qualcosa… ma il punto è che dobbiamo conoscerle perché ci potrebbero tornare utili. Con quest’ottica porto avanti la mia lezione. Propongo subito un gioco che mi consente di far verificare loro perché la proprietà commutativa funziona. Io, come sempre lavoro alla LIM di pari passo a loro sul quaderno. Il quesito che pongo è questo:

La prima reazione è CAOS! Sorrido facendoli notare che in realtà è molto più semplice di quanto pensano. “Procediamo con una serie di istruzioni. La prima cosa che ci viene chiesta è di scrivere i numeri da 1 a 10. Siamo in grado di farlo? Sì. E allora facciamolo mettendoli ordinatamente in riga. Poi continuiamo: sappiamo verificare qual è il 3° numero di 5 (e ci mettiamo con il dito sopra il 5) ? E il 5° successivo di 3?” A questo punto procedono in autonomia e verificano. La risposta è ovviamente sì ma io voglio sapere a quale proprietà dell’addizione è legato ciò che è stato verificato. La risposta è la proprietà commutativa perché non ho fatto altro che scambiare i due valori. Lo vediamo meglio insieme alla lavagna (e ci arrivano velocemente da soli) e poi appuntiamo sul quaderno:

Come sempre dobbiamo osservare i numeri: è molto importate (prima di procedere spediti a calcolare) osservare i numeri che abbiamo davanti a noi. Questo ci consentirà di capire se ci conviene usare una proprietà e quale risulta essere la più comoda. Quando siamo in colonna, ad esempio, e dobbiamo sommare 32 + 147 mi viene più comodo sommare alle 7 unità le 2 piuttosto che il contrario. In questo caso sto applicando la proprietà commutativa ad esempio.

Passiamo alla proprietà associativa. Leggendo la definizione non tutti hanno le idee chiare ma quando ricordo loro che la utilizziamo sempre quando individuiamo tra gli addendi le famose coppie amiche del 10 (o del 100 o del 1000) hanno l’illuminazione. Con la tappa alla decina ormai non ci ferma nessuno ma diciamo che in genere ci conviene sfruttare questa proprietà per ottenere cifre tonde che ci fanno lavorare meglio. Ovviamente associando un addendo ad un altro (quando ne abbiamo più di due) il risultato non cambia: direi 6 + 7 + 4 o 6 + 4 + 7 equivale sempre a 17. Per calcolarlo mi viene più comodo associare subito 6 e 4 ottenendo 10 e poi sommare 7… piuttosto che sommare 6 e 7 e poi il 4. Ecco cosa propongo alla LIM (prima osserviamo, poi svisceriamo tutto e infine calcoliamo a partire dagli esempi colorati):

Ci aiutiamo con le parentesi tonde che mi consentono di far visualizzare loro gli addendi associati. “Quando sarete bravi e veloci non ne avrete bisogno, molti di voi calcolano già in automatico… altri non hanno neanche bisogno di scrivere… ma per ora è meglio fissare tutti i passaggi nella nostra memoria“. In seguito saranno pienamente autonomi di scegliere e operare come credono: a me interessa che siano abili nel calcolo e riescano a trovare soluzioni ottimali per loro e non per me.

Quando leggiamo la definizione della proprietà dissociativa ci vengono i brividi. Da notare che la definizione che ho dato alla LIM è scritta diversamente rispetto a quella riportata sul libro (e che hanno studiato): voglio far comprendere loro che i concetti si possono esprimere in modo differente ma l’importante è capirne il senso ed esprimerlo al meglio. Riusciamo a vederci più chiaro solo con gli esempi e aiutandoci con i colori:

Faccio anche un po’ di arte e immagine con il blu che mescolato al rosso diventa viola 😉 Con questo semplice esercizio afferrano al volo cosa sta accadendo: dissocio ogni numero in cifre che riprendono unità, decine e centinaia e poi le sommo tra loro semplificando i calcoli velocemente. Questo è ciò che facciamo di solito quando calcoliamo in riga pensando per unità, decine e centinaia… ma in questo modo visualizziamo meglio e non ci confondiamo coi riporti: abbiamo semplificato moltissimo. Le addizioni in nero le eseguono in autonomia e poi le correggiamo insieme. Notiamo infine con altri esempi che ci conviene dissociare (quindi trovare la somma che ci permette di ottenere quell’addendo) sempre in modo da ottenere numeri più piccoli che ci fanno lavorare meglio e in velocità: 15  + 7 = (10 + 5) + (2 + 5)= 12 + 10 = 22 ad esempio…

Dopo diversi esercizi e alcuni giorni presento la sottrazione. Opero esattamente come ho operato per l’addizione: carta d’identità, esempi con situazioni problematiche, operazione in colonna, proprietà. Ci soffermiamo un po’ di più per ricordare cosa significa fare la differenza, ottenere un resto e togliere una quantità da un altra. Inoltre molti si confondono con i termini: “Ricordatevi che il primo è il termine che subirà una diminuzione e si chiama MINUENDO mentre il secondo è quello che si deve sottrarre e si chiama SOTTRAENDO. In questo modo dovreste ricordarlo. Cerchiamo anche di focalizzare l’attenzione sul perché addizione e sottrazione sono inverse (ci aiutiamo con alcuni schemini ciclici su addizione e sottrazione) e sul significato contrario della sottrazione rispetto all’addizione (il valore della quantità iniziale subisce una diminuzione rispetto all’addizione in cui aumenta). Mostro i soliti esempi di operazioni in cui non indico il segno ma osservando i termini e il risultato riesco a comprendere di che si tratta ( 7…. 4 = 11 è una addizione; 7….4 = 3 è una sottrazione). Come per l’addizione invece lo zero assume valore neutro… ossia non cambia le sorti del numero di partenza. Quindi nella sottrazione se a un termine tolgo una quantità pari a 0 ottengo il valore del termine stesso.

Finalmente ci dedichiamo alla proprietà invariantiva, l’unica che possiamo applicare con la sottrazione. La differenza di due numeri non cambia se a ciascuno di essi si aggiunge oppure di sottrae uno stesso numero. Se io ho: 15 – 8 ottengo 7 ma posso anche applicare la proprietà così, ad esempio: (15 + 2) – (8 + 2) = 17 – 10 = 7. Ovvio che usare la proprietà con numeri così piccoli non è comodo… ma quando lavoriamo con numeri più grandi lo è. Ci alleniamo con esercizi di questo tipo:

Si tratta ogni volta di aggiungere una unità a entrambi i termini e tutto diventa estremamente semplice. Il primo esempio diventa 128 -10 ; proseguendo in riga avremo 330 -100 e poi 2044 -1000. I bambini notano quanto è estremamente facile operare in questo modo: stiamo applicando la proprietà invariantiva. Presa dall’entusiasmo, una bambina alza la mano: “Maestra, ti vorrei fare una domanda su questa proprietà ma non so… perché magari è una domanda sciocca…“- “Ma certo che puoi, nessuna domanda è sciocca se ci consente di ragionare e sollevare questioni. Dimmi pure, anzi… dillo a tutti noi“. La bambina ci spiega che lei si trova proprio bene ad utilizzare la proprietà invariantiva e che le piacerebbe usarla anche con l’addizione ma ha visto che tra le proprietà dell’addizione non è prevista. Si potrà utilizzare? Non offro la risposta preconfezionata: questa questione è troppo gustosa per farmela sfuggire. Lo verifichiamo subito insieme. “L’unico modo per scoprirlo è farlo. Proviamo subito ad applicare la proprietà invariantiva a questa semplice sottrazione” e scrivo alla lavagna 8 – 5 aggiungendo 2 unità all’8 e al 5 ottengo 10 – 7 che fa 3 esattamente come ottengo 3 da 8 -5. La proprietà così funziona. Vediamo con l’addizione utilizzando gli stessi numeri: 8+ 5. Mi rendo subito conto che 10 + 7 fa 17 ma 8 + 5 assolutamente no. Abbiamo visto che i conti non tornano. E non tornano neanche se sottraiamo unità. I bambini ipotizzano perché ciò non sia possibile e capiscono che risale proprio al senso delle due operazioni. Nell’addizione le quantità si sommano e quindi aggiungendo o togliendo quantità il risultato varia per forza. Nella sottrazioni operiamo differenze … che non cambiano se togliamo o aggiungiamo quantità perché le “relazioni” restano le stesse. Ringrazio la mia alunna per l’ottima domanda e passiamo agli ultimi esercizi di rinforzo. Concludo ricordando loro che per applicare al meglio la proprietà invariantiva ci conviene sempre partire osservando il sottraendo e decidere quale numero aggiungere o togliere per farlo diventare cifra tonda e poi vedere se ci aiuta anche con il minuendo. Con gli esempi abbiamo notato che non esiste sempre un unico numero possibile ma dipende da chi sceglie e dalla propensione al calcolo. L’importante è arrivare all’obiettivo nel miglior modo possibile. Un bambino mi chiede se possiamo verificare che il risultato sia corretto. Ma certo: facendo la prova della sottrazione. Chi se la ricorda? Prendiamo il risultato, ci sommiamo il sottraendo e se abbiamo calcolato bene otteniamo il minuendo. E per fare la prova di questa prova? Beh, è un’addizione… applichiamo la proprietà commutativa! “Maestra, se si lavora bene… in matematica torna sempre tutto!” Questo è ciò che amo da sempre della matematica 🙂

Settimana prossima continueremo a ragionare e giocare con la proprietà invariantiva partendo da dove siamo rimasti:

e concentrandoci poi su addizione e sottrazione in colonna. Lavoreremo come sempre appoggiandoci al software LIM del Metodo Analogico previsto per la quarta classe e sul quaderno. Le attività saranno diversificate (in coppia, in gruppo e individuali, solo alla LIM, sul quaderno o sul libro) e con step di lavoro brevi (non più di 5/7 minuti dello stesso esercizio). Una volta terminato il percorso operazioni ci dedicheremo alle situazioni problematiche. Proporrò addizione e sottrazione insieme per non incappare nell’errore “Automatismo da operazione”: stiamo facendo l’addizione quindi per risolvere questo problema ci vorrà l’addizione”. Lavoreremo anche con i problemi per immagini del metodo analogico ma senza trascurare l’aspetto testuale e la ricerca dei dati. Ma questa è un’altra storia…

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