Geometria in classe quarta. (1) Impariamo ad utilizzare riga e squadra ripassando le conoscenze pregresse.

Per iniziare con la geometria ho ritenuto necessario sondare quanto del lavoro avviato lo scorso anno è rimasto nella loro memoria (in modo particolare le esperienze concrete effettuate nei laboratori guidati)  ma soprattutto verificare che i concetti affrontati siano stati effettivamente appresi e consolidati. A tal fine ho strutturato le prime lezioni a mo’ di ripasso ma senza trascurare l’aspetto sperimentale e basato su osservazione-esperienza che ha caratterizzato da sempre il nostro modo di agire. Questo tipo di approccio mi è servito anche per far comprendere ai nuovi alunni arrivati quest’anno come ho sempre lavorato e come intendo continuare a farlo. La lezione parte sempre da un quesito che deve trovar risposta sull’esperienza diretta e l’osservazione attenta. Questo quesito trova una o più risposte nel confronto tra compagni che si rifanno su osservazioni ma anche su quanto appreso e sperimentato nel tempo insieme. Per aiutarci a sondare il terreno attingo sempre a diversi materiali strutturati e non, che compaiono come per magia dal mio armadio in base alle esigenze: talvolta predispongo un’attività di introduzione all’argomento utilizzando il materiale, altre invece devo attingere al materiale per far capire meglio un concetto o dipanare un dubbio nato in corso d’opera. Usiamo poi la lavagna nera per appuntare idee, suggestioni e esempi, mentre la LIM è il mio quaderno: ciò che viene scritto e sperimentato alla LIM solitamente viene poi sperimentato sul loro quaderno. Oltre a questi strumenti quest’anno ci avvarremo anche di riga, squadra, goniometro… e forse compasso. Vedremo. In questa prima fase dei lavori riprendiamo subito in mano la riga (per tracciare ciò che andremo a disegnare e affrontare come ripasso sul quaderno) e dopo poche settimane la squadra (che impareranno ad utilizzare quest’anno insieme alla riga).

Riprendiamo in mano la geometria a partire dagli enti geometrici fondamentali: punto, linea, piano e spazio. Credo che sia fondamentale ripercorrere il cammino intrapreso proprio da qui puntualizzando che la geometria è quella parte della matematica che studia le figure e lo spazio. Compito della geometria è, ad esempio, descrivere figure geometriche di vario tipo. Per farlo ci aiutiamo con rappresentazioni “visive” e con un linguaggio specifico. Non possiamo inoltre dimenticare che anche la geometria si rifà a concetti astratti e spesso difficilmente afferrabili (linee infinite, punti senza dimensioni… ecc). Per il bambino (ma anche per noi adulti)  la geometria ha bisogno di immagini concrete degli oggetti osservati ma è necessario imparare ad allontanarci dalle immagini formali per provare ad astrarre i concetti. Questo avviene ad esempio con il punto, concetto che ha bisogno di essere rappresentato (poggiando ad esempio la punta della matita sul foglio) ma che diventa quasi inafferrabile quando scopro che la retta è un insieme di infiniti punti. Con il punto partiamo dal presupposto che è l’oggetto primitivo che ci consente di costruire altre figure geometriche, il più semplice. Anche con la linea partiamo da concetti primitivi e ci dobbiamo aiutare con qualcosa di concreto… come ad esempio un filo. I bambini sanno che ci stiamo aiutando a visualizzare le linee con dei fili allo stesso modo in cui abbiamo affrontato le quantità matematiche con oggetti concreti. In seconda abbiamo conosciuto la linea proprio aiutandoci coi fili e con il tempo abbiamo imparato a classificarle e a scoprirne le caratteristiche. Abbiamo anche scoperto che le linee vengono disegnate in uno spazio detto piano che ha due dimensioni e ci consente di visualizzarle in un luogo ipoteticamente finito (ma che finito non è come non lo è la linea). Proprio dedicandoci a porzioni di linea nel nostro piano ricordiamo che la linea ha una sola dimensione. Anche in questo caso dobbiamo ricorrere all’astrazione perché immaginare una linea infinita è estremamente difficile come è difficile avere a che fare con il concetto di infinito. “Siamo nel campo delle rappresentazioni e ci aiutiamo con dei trucchi. Usiamo allora i trattini per ricordarci che noi stiamo disegnando solo una parte di linea: quella che vogliamo prendere in considerazione e che voglio studiare“. Quindi con i punti determino le linee e se metto insieme le linee? “Possiamo ottenere delle figure… anche angoli a pensarci bene” dice qualcuno. Effettivamente è così. Per ora gli angoli li teniamo da parte. Certo, abbiamo imparato a conoscerli lo scorso anno ma siamo solo all’inizio del nostro cammino. Concentriamoci sulle figure, anch’esse rappresentabili nel piano. Ricordo le esperienze passate. “Quando in seconda abbiamo sperimentato con le figure ci siamo aiutati con la carta, chi se lo ricorda?” In quel caso le nostre figure avevano un’altezza e una lunghezza ma c’era anche un piccolo spessore. Era qualcosa che riuscivamo a toccare e ritagliare. Ecco, in quel caso cercavamo di rendere concreto qualcosa che invece è geometricamente complesso e talvolta inafferrabile. Ma ancora una volta ci siamo dovuti aiutare, come ci aiutiamo con il disegno quanto dobbiamo ragionare sulle figure geometriche piane. Quando si entra nel campo del 3D tutto diventa ancora più difficile. Concretamente abbiamo una serie di oggetti che possiamo analizzare e studiare (e percepiamo anche le figure che compongono ad esempio le facce dell’oggetto volumetrico) ma quando lo disegniamo che succede? Il nostro solido che nella realtà occupa anche uno spazio… nel momento in cui viene rappresentato viene messo nel piano.

Dobbiamo avere  chiaro che la geometria dello spazio ci vuole dare gli strumenti per descrivere questi oggetti: modelli concreti sui quali lavorare. Anche con i solidi si è lavorato in modi diversi già dalla prima e via via in maniera sempre più approfondita.  Anche quest’anno avremo modo di sperimentare e capire il perché di molti concetti. Ma dobbiamo partire dal presupposto che possiamo certo rappresentare figure solide sul piano utilizzando delle strategie che in parte abbiamo già scoperto e che si rifanno anche alle tecniche che al cinema ci consentono di vedere in 3D pur utilizzando uno schermo che è un piano (quindi in 2D). Dopo aver discusso, osservato, manipolato linee, forme e figure, sperimentato alla LIM e utilizzato anche materiale strutturato come i solidi in legno e i GEOMAG raccogliamo tutto sul quaderno. Io come sempre lavoro di pari passo alla LIM. Ci sono momenti in cui lavoriamo in simbiosi e altri in cui procedono in autonomia. Il confronto e controllo finale, insieme, è sempre importante.

La seconda lezione è dedicata al ripasso delle linee e in modo particolare alle caratteristiche che ci consentono di classificarle. I bambini lo fanno con grande dimestichezza e hanno acquisito una certa padronanza nel distinguere le rette da le non rette. Da quest’anno – e lo faccio loro presente – sarà ancora più importante imparare bene il linguaggio formale della geometria. Loro dovranno essere in grado di capire ciò che dico quando utilizzerò termini specifici del linguaggio geometrico richiamando alla memoria le loro conoscenze e competenze ma allo stesso modo dovranno utilizzare questo linguaggio con una certa padronanza. Questo ci consentirà di comunicare insieme senza lasciar spazio a incertezze o incomprensioni. Con quest’ottica ripassiamo linee parallele, perpendicolari e incidenti. Riportiamo alla memoria quanto appreso in terza e facciamo esempi concreti ancora una volta e infine ci dedichiamo al lavoro di rappresentazione sul quaderno. Alla LIM disegno gli esempi da osservare e loro sul quaderno. Infine chiedo di descrivere le relazioni tra rette rappresentate. Ecco uno degli esempi:

Scrivono che nella figura1 la retta della c è perpendicolare alle due rette a e b che sono tra loro parallele. Per la figura2 emerge che le due rette parallele e e f sono incidenti con la retta d. Alla lavagna facciamo molti altri esempi e cerchiamo di arrivare alla definizione di rette parallele, rette incidenti e rette perpendicolari. Sono contenta di scoprire che la maggior parte di loro ricorda bene quanto appreso in terza. Si lavora ancora sul quaderno e fissiamo nella memoria quanto sondato.

Il passo successivo è il ripasso di semirette e segmenti. Usiamo sempre la stessa tecnica e lavoriamo con esempi, foglio e matita. In queste lezioni stiamo usando solo la riga ma ben presto arriverà il momento della squadra. Dopo aver ripreso il concetto di retta vediamo insieme semiretta e segmento. Riportiamo alla memoria quanto appreso in terza con una serie di esempi per ricavare infine delle definizioni. Sul quaderno faccio disegnare alcune semirette che dovranno essere poi osservate e discriminate in base alle caratteristiche emerse. Infine ragioniamo insieme e tiriamo le somme per affrontare i nuovi concetti di semirette opposte e consecutive.

In questo caso la novità, rispetto al lavoro intrapreso precedentemente, è l’introduzione del concetto di semirette opposte, semirette e segmenti consecutivi. Facciamo molti esempi oltre a questi riportati nel quaderno e ragioniamo anche in merito ai segmenti (sotto forma di lati) nelle figure piane cercando di classificarli in base a quanto osservato.

A questo punto siamo pronti per conoscere un nuovo strumento: la squadra! Attenzione perché per usarla dovremo aiutarci anche della riga. Insegno ai miei alunni a utilizzare la squadra e la riga per tracciare linee orizzontali parallele su un foglio bianco. Dopo aver distribuito il foglio vado alla LIM e utilizzo gli strumenti in dotazione nel software. Questi strumenti, molto grandi e visibili, mi consentono di far vedere come posizionare riga e squadra facendo anche attenzione ai passaggi da effettuare. Ognuno di loro possiede un foglio bianco formato A4, una matita HB, squadra di dimensioni medie, riga da 30 centimetri, una gomma. Ricordo loro che la matita dovrà scorrere leggera sul foglio e si dovranno impegnare a mantenere lo stretto tratto in modo da abituarsi a tracciare linee pulite. Iniziamo. Io alla LIM e loro sul foglio:

  Sistemiamo il righello nella parte alta del foglio in modo che ci consenta di tracciare una linea parallela all’estremità in alto. Dopo averla tracciata possiamo anche verificare se la linea è parallela prendendo le misure ai due estremi della linea: se abbiamo le stesse misure possiamo essere certi di esser partiti bene.

Dopo aver tracciato la prima linea orizzontale prendiamo la squadra e sistemiamola con precisione sotto la linea. Non importa la forma della squadra e neanche se la stiamo usando al dritto e al rovescio: l’importante è trovarsi in una situazione simile a quella mostrata. Diamo il tempo necessario ai bambini per posizionare bene la squadra e ricordiamo che dovranno tenerla ben salda sino al prossimo passaggio.

Adesso prendiamo nuovamente la riga e sistemiamola per bene nel lato obliquo sinistro della squadra facendo bene attenzione affinché la parte alta della squadra sia ben corrispondente alla linea tracciata in precedenza. A questo punto dobbiamo fare attenzione a non muovere più la riga che da questo momento sarà il nostro punto di riferimento. Mostro ai bambini come muovere le mani e gli strumenti. La mano sinistra terrà fermissima la riga mentre la mano destra dovrà far scivolare verso il basso la squadra.

Questo non è un compito facile ma con l’esercizio ognuno di voi diventerà un abile disegnatore di linee parallele. Oggi le facciamo orizzontali e la prossima volta saranno anche verticali. Per ora ci interessa scoprire come usare gli strumenti insieme, come acquisire una certa manualità e infine impareremo a disegnare bene ciò che desideriamo. Dopo aver mostrato come disegnare alcune linee alla LIM prestando soprattutto attenzione ai movimenti e facendo vedere come farlo nel foglio con la matita chiedo loro di proseguire autonomamente. Per questa volta non mi interessa che misura ci debba essere tra una linea e l’altra e non mi interessa neanche che tutte le distanze siano le stesse. “Concentratevi sull’uso degli strumenti e disegnate le linee come preferite: l’importante è che siano orizzontali, parallele e pulite. Buon lavoro!“

All’inizio alcuni sono in preda allo sconforto e hanno bisogno di molte rassicurazioni. I bambini che sono stati molto attenti procedono spediti e con più sicurezza mentre i più distratti o i meno sicuri sono quelli che incontrano più difficoltà. Poi ci sono i frettolosi. Anche quelli rischiano di sbagliare presi dalla fretta e appena faccio notare loro che le linee non sono orizzontali capiscono che in questi casi la fretta non serva, anzi… crea solo problemi. Ricordare in continuazione ai bambini che non stiamo facendo una gare e che non vince chi finisce per primo è d’obbligo. Nella mia classe non faccio altro che ricordare loro che devono prendersi il tempo necessario per lavorare al meglio. I frettolosi non mi sono mai piaciuti! Più volte mostro alla lavagna nera come tracciare delle linee con il gesso e usando riga e squadra. “Maestra, ti piace? Sto facendo bene?” è la domanda più ricorrente. Io rispondo sempre allo stesso modo “Sei soddisfatto del tuo lavoro? Se sì allora sono contenta anche io. Se ritieni di poter far meglio allora impegnati e sarai tu ad essere il più contento!“.

Ci sono molti altri modi per tracciare delle linee orizzontali o verticali, e perché no oblique, su un foglio bianco. Questa volta abbiamo visto questo trucco. Non appena avremo consolidato l’uso di squadra e righello li farò lavorare in coppia per scoprire insieme come fare una pagina intera (e non a metà come in questo esercizio) quindi cambiando le pozioni degli strumenti e trovando punti di riferimento diversi. Ma questa è un’altra sfida che ci avvicina ancora di più all’arte di risolvere problemi… questa volta con la geometria!

Decido di affinare la tecnica e stimolare la loro curiosità con un piccolo esperimento di GeometriaArte. Anni fa tenevo all’Università di Cagliari dei laboratori di arte e immagine per studenti che sarebbero diventati futuri insegnanti. Tra queste lezioni ho affrontato l’intero abc delle immagini con particolare riferimento anche alla lettura delle immagini (disegno, pittura, fotografia e cinema). Tra queste lezioni c’era anche il laboratorio sul punto e sulla linea. Ho deciso così di rispolverare un mio vecchio power point e utilizzarlo in aula per stimolare l’attività che avrei proposto. Dopo una breve introduzione sul punto nell’arte (che quando ho la fortuna di insegnare arte e immagine a scuola propongo già dalla prima elementare per poi svilupparlo in seconda e terza) osservando prima come anche la natura utilizzi il punto come forma “espressiva” arriviamo alla linea. Mostro una serie di immagini fotografiche di ambienti naturali e antropici in cui le linee sono evidenti e giocano anche con le nostre percezioni. Poi andiamo ad osservare alcune opere d’arte (soprattutto astratte) in cui la linea insieme al colore raccontano infiniti mondi che stravolgono i sensi. Anche la linea stilizzata di Keith Haring ci fa riflettere sull’importanza delle linee nel definire soggetti che possiamo riconoscere anche se non perfettamente completi o fedeli alla realtà. Il potere dell’arte è quello di farci vedere ciò che ci circonda (ma non solo) con sguardo diverso. Andiamo anche a vedere un episodio della Linea Lagostina (ve la ricordate?) che suscita grande entusiasmo e ci fa riflettere ancora una volta. Alla fine approdiamo all’artista che m’interessa utilizzare come esempio e ci dove ispirare nel nostro lavoro: Mondrian. Ricordiamoci che abbiamo parlato di linee parallele e perpendicolari ma soprattutto stiamo imparando a utilizzare  squadra e riga. Osserviamo alcune opere e trovo il tempo di raccontare loro chi era Mondrian e come le sue opere,pur sembrando semplici racchiudano, grazie alle linee e ai colori primari scelti, principi di grande armonia ed equilibrio. Insomma, dei quadri matematici per eccellenza.

Così lancio la sfida: ognuno di voi provi a disegnare delle linee verticali e orizzontali, parallele e erpendicolari alla maniera di Mondrian.

Chiedo di far diventare il foglio formato A4 che ho distribuito un bel quadrato (conoscono la tecnica del bordo piegato sulla diagonale), prendere matita e gomma, riga e squadra. Ricordo che squadra e riga devono lavorare insieme. Ci vuole molta pazienza: alcuni disegnano spazi molto stretti e piccoli che sembrano un muro di mattoni, altri presi dalla fretta usano solo la riga o la squadra, altri ancora non fanno che cancellare. Come sempre sono i più attenti e pazienti che ottengono subito dei risultati. Mostro tante e tante volte come fare. Ci vuole una pazienza enorme anche per me ma i primi risultati arrivano. A fine dell’ora alcuni bambini hanno finito lo schema e sono soddisfatti. A casa avranno modo di colorare il lavoro coi colori primari. Al rientro del ponte dei morti aspetto di vedere le loro opere. Come avranno lavorato a casa? Questa non sarà la prima volta che chiameremo in causa l’arte… ho grandi progetti per questo anno scolastico.