Geometria in classe quarta. (2) Trasformazioni geometriche: la rotazione e altre sfide!

In queste due settimane, dopo aver ripassato il concetto di retta, semiretta e segmento, ci siamo addentrati nello studio-sperimentazione delle trasformazioni geometriche. Anche le trasformazioni geometriche – pur essendo spesso trascurate o affrontate in poche righe del libro di testo – sono argomento previsto dalle Indicazioni per il Curricolo sia alla scuola primaria che alla secondaria. Ovviamente l’approccio che dobbiamo avere con questo particolare campo della geometria è soprattutto basato all’esperienza diretta e all’osservazione. Le trasformazioni geometriche, nella completezza del loro significato, vengono proposte solo alla scuola secondaria di secondo grado con un approccio profondamente astratto. Ciò che noi insegnanti della scuola primaria possiamo fare è rendere meno astratti i concetti geometrici e permettere ai bambini di avvicinarsi a nuovi termini e concetti con alcune consapevolezze che saranno la base per approfondire in futuro una materia così complessa. Decidere di trascurare un argomento di questo tipo significa prima di tutto mettere in secondo piano la possibilità di sviluppare collegamenti interdisciplinari e inoltre fari sì che tale approccio avvenga in maniera tardiva (alle scuole superiori) limitando in modo significativo la comprensione di concetti geometrici che fanno parte, appunto, del gruppo delle trasformazioni. Ciò che ci deve interessare, a livello didattico, è che l’alunno impari a riconoscere e riprodurre trasformazioni geometriche nel piano e nello spazio sviluppando un atteggiamento di curiosità  e analisi a partire dall’esperienza in classe. Questo tipo di esperienza passa senz’altro attraverso la rappresentazione grafica ma anche attraverso la manipolazione di oggetti che fungono da modello. Lo scopo finale da perseguire è quello di consentire all’alunno di riuscire ad elaborare un ragionamento per tappe successive che leghi tra loro i diversi tipi di trasformazioni.

In prima, seconda e terza si è lavorato soprattutto con la simmetria (in maniera esplicita) e con similitudini , traslazioni e rotazioni (in maniera non esplicita ossia senza entrare nel merito di significati e termini geometrici). In classe quarta si svilupperanno in maniera più approfondita le simmetrie assiali, si apprenderà un primo significato di traslazione e rotazione (soprattutto attraverso la rappresentazione grafica) per poi sviluppare similitudini e omotetie. Il nostro percorso inizia con la rotazione di un segmento.

Possiamo pensare alle rotazioni come una sorta di composizione tra due simmetrie assiali con gli assi incidenti. Questo tipo di argomento non è mai stato trattato in maniera esplicita ma affrontato trasversalmente con attività legate alle figure e anche agli angoli. Quest’anno invece si parlerà di rotazione e si cercherà di capire cosa significa ruotare un segmento e che differenza c’è tra traslarlo, ad esempio. Il lavoro avviato con i segmenti verrà ovviamente sviluppato con la rotazione e la traslazione di figure piane. Quali sono gli obiettivi specifici che vogliamo raggiungere? Sicuramente sviluppare la capacità di osservare e confrontare i risultati di rotazioni; misurare gli elementi di una rotazione (ad esempio l’angolo di rotazione); riconoscere gli invarianti di una rotazione; realizzare concretamente le rotazioni utilizzando le competenze relative alla misura.

Per rotazione si intende, in generale, il cambiamento di posizione di una figura. Gli elementi di una rotazione sono: il centro di rotazione (il punto fisso); il verso della rotazione (orario, antiorario); l’ampiezza dell’angolo di rotazione. Prima di procedere con la rotazione di figure piane decido di proporre la rotazione di un segmento e questo ci consente di lavorare trasversalmente anche con la matematica ricollegandoci, guarda un po’, alla lettura delle lancette dell’orologio e alle frazioni. Vediamo perché e come.

Il primo aspetto che voglio chiarire è che la rotazione consiste nello spostamento sul piano e nello spazio di un segmento (nel nostro caso specifico) e di una figura piana (come vedremo in seguito) secondo determinati angoli di rotazione. Accade che durante una rotazione tutti i punti del nostro segmento subiranno uno spostamento secondo un verso di rotazione (orario verso destra e antiorario verso sinistra) intorno ad un punto che viene mantenuto fisso. Questo punto potrebbe trovarsi sulla parte estrema del nostro segmento come in un qualsiasi punto ma noi inizieremo dal caso più semplice e intuitivamente raggiungibile. Chiedo ai bambini cosa significhi secondo loro il termine “rotazione” e loro lo ricollegano alla parola ruotare e anche alla ruota, qualcosa che gira e definisce una sorta di cerchio. Prendo la palla al balzo e dico loro che noi proveremo a fare delle rotazioni di segmenti e per farlo utilizzeremo delle bacchette in legno (loro sanno che con la geometria se ci aiutiamo con oggetti concreti è meglio!). “Ma se doveste pensare a delle asticelle o bacchette che ruotano e sembrano “disegnare” un cerchio cosa vi verrebbe in mente?” Qualcuno azzarda con entusiasmo un “le lancette dell’orologio!”. E in effetti proprio lì volevo arrivare. “Bene, osservate appunto le lancette dell’orologio alla nostra parete: certamente ruotano tutte ma osservare cosa è determinante affinché compiano questo movimento.” Osservano che il perno che tiene le lancette è quello che consente loro di spostarsi ruotando. A questo punto accendo la LIM e consegno a ciascuno di loro le stecche in legno che ci consentiranno di sperimentare. Disegno un segmento che chiamo AB indicando i due punti estremi e ricordo ai bambini del punto fisso che voglio stabilire. Sistemo il segmento in verticale e chiedo ai bambini di fare lo stesso, sul banco, con la loro stecchetta chiedendo poi di mettere un dito, a tener fissa un’estremità, sulla parte bassa. A questo punto chiedo di ruotare verso destra il segmento tenendo il dito ben piantato nell’estremità scelta e cercando di portalo in orizzontale. Abbiamo computo la prima rotazione. Faccio qualche domanda e nel frattempo faccio compiere delle trasformazioni al mio segmento. Tengo fermo il punto A (che si trova nell’estremità in basso) e chiedo se nello spostamento il segmento è cambiato per quanto riguarda ad esempio la sua misura. “No, misurava 8 quadretti in verticale e anche adesso che è orizzontale“. Poi prendo e lo sposto senza compiere la rotazione e senza tener fisso il punto A. “Il movimento che ho effettuato è una rotazione? Vi sembra lo stesso movimento di prima?“. Non cadono nel mio tranello e mi dicono che il segmento l’ho proprio spostato… e senza tenere fisso il punto come accade nell’orologio. “Esatto, sembra proprio che la lancetta sia andata a spasso”. Proviamo a fare  un esempio prendendo Mara! “Come Mara… maestra? Che intenzioni hai?” Chiamo la mia alunna alla cattedra e le chiedo di sistemarsi in piedi, ben dritta con i piedi uniti fronte rivolta alla classe. Prendendola delicatamente per le spalle la faccio ruotare, facendo in modo che i piedi restino sullo stesso punto, verso la sua destra. Chiedo ai bambini di far caso ai movimenti e poi prendo Mara e la sposto portandola avanti di un passo. “Vi pare che sia cambiato qualcosa?” Convengono tutti che questa volta non si tratta di rotazione ma si è spostata completamente e i piedi si trovano da un’altra parte. Preciso che questo movimento è una traslazione, ad essere precisi. Mara resta ancora vicina a me e accanto al segmento AB che ho disegnato alla LIM ne traccio uno identico verde. Tengo il punto fisso A e, come mi consente di fare la LIM, ruoto il segmento-gemelloverde proprio verso destra come avevo spostato Mara. In questo modo il segmento originario e quello verde mi consentono di far apprezzare il tipo di rotazione ossia l’angolo di ampiezza della rotazione. I bambini vedono immediatamente l’angolo retto e alla mia domanda “quanto misura la rotazione compiuta dal segmento” rispondo 90 gradi. Notiamo poi che è la stessa che ha compiuto la compagna. “E se voglio far compiere a Mara una rotazione di 180 gradi?“- “Deve girarsi alla parte opposta“. A questo punto sperimentiamo con le stecche e proviamo a fare rotazioni guidate mentre io riproduco alla LIM. Quando la sperimentazione sempre averli soddisfatti prendiamo il quaderno e raccogliamo quanto scoperto. Come sempre io alla LIM e loro al quaderno. Utilizziamo le stecche in legno a mo’ di righello perché tanto disegneremo segmenti non più lunghi di 8 quadretti. 

Rappresentiamo la prima rotazione effettuata con un segmento di 8 quadretti, posto in verticale e con il punto fisso in A. Lo rappresentiamo con la matita, segniamo i punti con la penna, tracciamo l’asse ruotato in verde e con la penna rossa segniamo il verso della rotazione che ci mostra anche l’ampiezza. Accanto indichiamo che abbiamo ruotato il segmento AB di 90 gradi o anche di un quarto di giro. “Perché un quarto di giro?” Ci ricolleghiamo alle frazioni e chiedo chi si ricorda il significato di un quarto. Preso un intero e diviso in 4 parti uguali il quarto è una delle sue parti. Ok. Disegno un cerchio (pensiamo sempre all’orologio) e colloco il segmento originario e poi quello ruotato in verse. Coloro con la matita l’ampiezza e noto che l’ampiezza di rotazione comprende proprio un quarto del cerchio. Se ci pensiamo bene quando la lancetta dei minuti si trova in quella posizione diciamo proprio che sono le 5 e un quarto (ad esempio). A questo punto non vedono l’ora di scoprire il resto! Cosa accade a con due giri di quarto? Diventa “e mezza” allora è mezzo giro… e quanto misura!? Sarà 180 gradi perché è il doppio di 90! Sono in fibrillazione, i più svegli sono incontenibili e sembra una gara a chi intuisce prima qualcosa. Continuiamo così e lavoriamo anche con le frazioni. Nel caso del mezzo giro (che misura 180°) riprendiamo il concetto di mezzo che significa metà intero ma osservando la figura notiamo anche che è uguale a 2 quarti. “Maestra, ma possiamo dire che sono le 4 e due quarti?” Io direi che nessuno ce lo vieta e matematicamente parlando è corretto. Le 5 e tre quarti lo usiamo spesso ad esempio. Guardiamo cosa accade. E spostiamo il nostro segmento con una bella rotazione di 270° (lo calcolano loro facendo 90 x 3) raccogliendo le nostre esperienze sino ad arrivare al giro completo di 360 °.

Alla fine mi ricordo di specificare alcuni dettagli: che nel nostro caso abbiamo sempre compiuto rotazioni in senso orario ma possiamo benissimo farle anche nel senso inverso (antiorario) e che pensando alle rotazioni possiamo anche ricordarci meglio la lettura dell’orologio analogico o viceversa. Per ora abbiamo visto soltanto la rotazione di un segmento mentre in seguito ruoteremo le figure piane.

Nel prossimo incontro proporrò un’attività che gioca sulla rotazione ma che in realtà non lo è nello specifico. Si tratterò di porre attenzione ai segmenti che compongono una figura di partenza, tenere sempre la punta della matita attaccata al foglio e seguire una sorta di rotazione in senso orario. L’effetto che si ottiene è straordinario. Si tratta comunque di lavorare con le trasformazioni geometriche, di tenere viva l’attenzione, di stimolare la creatività e affinare l’utilizzo della riga o della squadra. Quando ho mostrato ai bambini cosa avrei insegnato loro la volta seguente… beh, sono rimasti a bocca aperta. Questa attività ricorda molto le illusioni ottiche e sicuramente faremo anche una piccola tappa nelle opere di Escher in modo da stimolare curiosità e creatività.

A vederlo così sembra una forma misteriosa, fatta di grovigli e molto difficile da ricreare. Invece a guardarla bene si scopre che ci troviamo difronte a una composizione di quattro quadrati accostati all’interno dei quali ci sono altrettanti quadrati che “si muovono come se ruotassero”.

Alla LIM svelerò il segreto in questo modo, con i passaggi semplificati e poi… spiegherò loro come lavorare con pazienza e con la riga. Ovvio è che useremo la riga anche se, come esercizio di relax, si può fare anche a mano libera 😉 e con tutte le figure geometriche che ci vuole. Ma questa sarà una sfida in più: utilizza lo stesso trucco… con il triangolo.

Ecco come funziona con il quadrato:

Avete capito?

 

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