Spesso ho come l’impressione di arrivare in classe e non dover poi insegnare niente di nuovo. Mi è successo molte volte di spiegare ai miei alunni che in realtà la mia lezione sarebbe stata per loro la scoperta di saper già qualcosa. La matematica è spesso insita in ognuno di noi ma non ne siamo consapevoli. Soprattutto in prima elementare non ho fatto altro: “Bambini, in realtà lo sapete già fare da tempo… ma cerchiamo di capire cosa accade nella nostra mente matematica in modo da sfruttare le nostre conoscenze e le nostre competenze al meglio“. Quando sono arrivata in classe, la mattina in cui avrei dovuto “presentare” le divisioni, ho iniziato a tirati fuori oggetti di uso comune che tengo nel mio armadio dell’officina matematica e, mentre disponevo tutto sulla cattedra riassumendo mentalmente ciò che avevo programmato, ho sentito l’impulso di andare alla lavagna e scrivere: OGGI NON VI INSEGNO NIENTE!
In effetti chissà quante volte i miei alunni hanno diviso quantità per distribuire qualcosa o formare gruppi. Hanno già adottato strategie, hanno trovato soluzioni e applicato regole in maniera non ancora consapevole. Si tratta solo di metabolizzare, capire, comprendere, trasformare il tutto in linguaggio matematico. Bruno D’Amore (Didattica della matematica, Pitagora Editrice), riflettendo sull’accostamento del binomio linguaggio-pensiero, ci pone subito difronte ad un quesito che è stato uno dei punti cardine di divergenza tra i sistemi (o le teorie) di Piaget e Vygotskij:
L’uso del sistema semiotico di una lingua è o no necessario al funzionamento del pensiero logico ed allo sviluppo della conoscenza scientifica?
Il dibattito e gli spunti di riflessione li lascio per ora da parte ma non escludo di approfondire un discorso tanto interessante quando intricato. Per ora mi basta constatare coi miei alunni che per parlare il “matematichese” è necessario conoscere i termini giusti ma se un bambino riesce a dimostrare con esempi e codici a lui congeniali come sia riuscito a risolvere un problema di logica o sviluppare un calcolo complesso io ne son ben contenta. Certo è che per poter condividere con tutti questa straordinaria scoperta (e, a mio avviso, metabolizzarla al meglio anche nella propria testa) è importante usare le parole giuste (come diceva Nanni Moretti in Palombella rossa “LE PAROLE SONO IMPORTANTI“). Se poi entriamo in merito al linguaggio scientifico, alla comunicazione matematica e alla terminologia complessa che si dovrebbe utilizzare per sviluppare assiomi, concetti ecc. si rischia di fare ancora più confusione. Che differenza esiste, fa notare sempre D’Amore, tra “concetto di divisione” e “algoritmo”? Perché probabilmente i bambini hanno compreso il concetto di divisione ma magari ignorano l’algoritmo di calcolo. Tornando al mio discorso iniziale, probabilmente un bambino di seconda elementare (ma anche un cinquenne) ha ben chiaro cosa s’intenda per divisione. Come ho fatto io stessa in classe, basta consegnare una quantità di oggetti e chiedere al bambino di dividerla (distribuirla) tra un determinato numero di compagni in modo che la quantità di ciascuno sia identica (ogni insieme deve essere equipotente) e nessuno risulti insoddisfatto (lui ne ha di meno… lei ne ha di più!). Altra cosa è trasformare ciò che si è fatto in operazione matematica… utilizzando i simboli giusti. In seconda elementare facciamo questo: trasformiamo l’esperienza della quotidianità in termini matematici sostituendo alla quantità manipolata i simboli numerici e utilizzando il simbolo della divisione che andrà posto tra il dividendo e il divisore. Per quanto concerne lo sviluppo dell’algoritmo di calcolo le cose si complicano: in seconda elementare ci si cimenta con la divisione in riga che richiama soprattutto lo studio delle tabelline e lo stretto legame con le moltiplicazioni (qual è quel numero che moltiplicato 3 fa 15? … per risolvere 15:3) e non implica invece la procedura complessa della divisione in colonna che richiede conoscenze pregresse ben più complesse.
Premesso che anche con la divisione è necessario evitare che si creino modelli parassiti (ne ho già parlato in precedenza in un mio post in riferimento alla geometria) che possono in qualche modo intaccare i modelli intuitivi che adoperiamo per risolvere una serie di situazioni matematiche. Se io propongo sempre esempi in cui il dividendo è maggiore del divisore (e in classe seconda questo accade) il bambino potrà essere indotto a pensare che così deve essere, arrivando ad affermare che “Se il dividendo è minore del divisore la divisione è impossibile, non si può fare!“. Questo errore si porta dietro anche un altro insidioso modello parassita: “La divisione diminuisce… (anche perché la moltiplicazione accresce)”. Ma quando i bambini si troveranno a risolvere divisioni come 15:0,2… tutto verrà ovviamente scardinato… speriamo! Evitare quindi di fissare il tutto con schemini tipo “La moltiplicazione e l’addizione accrescono, la divisione e la sottrazione diminuiscono” non è proprio la scelta migliore. È decisamente meglio lasciare immagini ancora instabili in modo che piano piano si creino spontaneamente, e con spirito matematico, modelli adatti e significativi.
Quando sono arrivata in classe i miei alunni hanno subito letto la scritta alla lavagna. Qualcuno ha esultato pensando “Evviva, oggi la maestra non ci insegna niente… quindi non si lavora!!!” mentre qualche bambina più scaltra ha interpretato subito alla lettera il mio messaggio (ormai mi conoscono bene) affermando di aver capito cosa intendessi: “Oggi non ci insegni niente perché ci farai vedere qualcosa che già noi sappiamo!”. Qualcuno ricordava la mia anticipazione sulla lezione del lunedì (per creare aspettative e attese comunico sempre ai miei alunni i progetti previsti per la settimana): in cantiere ci sarebbe stata la divisione! E allora hanno iniziato a cercare di capire come fosse possibile saperle già fare. In effetti dopo i primi giochi tutti erano concordi nell’affermare che “dividevano da una vita!”. Abbiamo iniziato infatti da esempi pratici in cui loro non dovevano far altro che dividere quantità di oggetti dati: hai 8 matite, distribuiscile in parti uguali tra i tuoi 4 compagni e scopri quante matite spettano a ciascuno. Gli esempi si sprecano. Manipoliamo quantità e materiali, rappresentiamo alla lavagna e scriviamo le quantità usando i simboli matematici necessari. Passiamo dapprima al concetto di partizione (e ci aiutiamo con gli insiemi) per poi focalizzare l’attenzione sul significato di divisione. Ciò che è necessario fare è associare la divisione ad una situazione di partizione. Ecco un esempio classico che abbiamo riportato anche sul quaderno:
Abbiamo portato in classe 10 piantine e dobbiamo sistemarle all’interno dei 5 vasi in dotazione. Quante piantine possiamo mettere dentro ogni vaso in modo che la quantità ripartita (distribuita o divisa) sia la stessa?
Dopo aver lavorato sul libro abbiamo poi lavorato sulla divisione per raggruppamento utilizzando sempre esempi chiave e riportando l’attenzione ad una situazione simile a quella utilizzata in precedenza:
Abbiamo portato in classe 10 piantine e dobbiamo sistemarle all’interno di alcuni vasi in modo che c’è ne siano 2 per vaso. Di quanti vasi abbiamo bisogno? In questo caso dobbiamo formare dei gruppi da 2 quindi dobbiamo raggruppare per 2. Così facendo riusciamo a formare ben 5 gruppi da 2. Ecco di quanti vasi abbiamo bisogno.
Se utilizziamo poi gli schieramenti il richiamo alla moltiplicazione è quasi spontaneo perché i bambini comprendono quasi subito che per risolvere le divisioni in riga sarà necessario richiamare alla memoria le tabelline. Mi aiuto con il classico schemino di divisione e moltiplicazione come operazioni inverse (lo stesso che si usa per addizione e sottrazione) e imposto la domanda che i bambini potranno porsi nel momento in cui dovranno risolvere divisioni con numeri più grandi e non potranno più rappresentare con le immagini. “Se devo risolvere la divisione 56:8 posso domandarmi quale sia quel numero che moltiplicato 8 mi da 56“.
Dopo aver eseguito una serie di divisioni in riga e fatto esempi di situazioni problematiche orali che in qualche modo stimolassero i bambini a richiamare alla mente le tabelline e utilizzare le varie strategie di risoluzione del calcolo (anche utilizzando gli esercizi proposti su La linea del 100 di Bortolato) ho deciso di introdurre il concetto di metà e terza parte prima di affrontare le divisioni con il resto. È anche vero che ragionando con i miei alunni ho dovuto comunque anticipare qualcosa 😉
“Cosa significa dividere a metà?“: prendi queste biglie e dividile a metà… una parte a me e una a te. “Quante biglie mi stai dando? Come hai fatto? Racconta per bene quale procedimento hai messo in atto… e pensalo come un algoritmo… ossia l’insieme di istruzioni che hai eseguito per raggiungere l’obiettivo e risolvere il problema“
- Ho contato le biglie: sono 6
- Le ho messe in fila e le ho divise in due gruppi da 3: uno da una parte e uno dall’altro
- Ho dato 3 biglie a te… la metà di quelle che avevo
“Abbiamo fatto una divisione, non ti pare?” Scriviamola alla lavagna: 6:2=3. Possiamo affermare con sicurezza che 3 è la metà di 6? Certo che sì quindi tiriamo le somme: otteniamo la metà di un numero quando lo dividiamo per 2. Funziona sempre? Sperimentiamo! I conti tornano. “Quindi vi racconto che ieri è arrivata a casa mia madre e mi ha portato ben 20 pizzette sfoglie. Beh, ne vado così ghiotta che son riuscita addirittura a mangiarne la metà! Quante ne ho mangiate?” Tutti conoscono la risposta. Ci sbizzarriamo con vari esempi e lavoriamo alla lavagna e sul libro. E se devo calcolare la TERZA parte? Che numero ci viene in mente? Ecco, il 3… quindi vorrà dire che dovremo dividere non più per 2 ma per 3 per ottenere la terza parte di una quantità. Anche in questo caso ci soffermiamo sugli esempi. Anticipo anche il termine “un terzo”… ma è un segreto… nessuno lo deve sapere che in seconda la maestra parla già di frazioni…
[Tempo fa, parlando di orologio e unità di misura del tempo… mi son ritrovata a parlare di frazioni e devo dire che aiutata dai disegni e dalla loro perspicacia ci siamo spinti ben oltre a quanto potessi immaginare. Quando ho detto loro che nessuno avrebbe dovuto sapere che la maestra aveva parlato in seconda di frazioni… si è creata una sorta di eccitazione condivisa. Si ridacchiava… che nessuno spifferi il segreto… state attenti… che sennò arriva la polizia e mi arresta. Ma non la sentite la sirena della volante della polizia? – Maestra, cancella subito la lavagna… che ci sono le tracce!!! – e io che cancello e subito mi metto a fischiettare facendo quella che non ne sa niente. “Mi raccomando… acqua in bocca e ne riparliamo l’anno prossimo“. Scatta l’ora della ricreazione e alcuni bambini vanno in bagno. Appena rientra uno dei tanti mi fa “Maestraaaa… appena Gabriele è arrivato in bagno ha bloccato un bambino di quinta e gli ha spifferato che noi stiamo già facendo le frazioni!!!” È proprio vero che l’entusiasmo non si può tenere a bada! ahahahaha]
Il passo successivo è affrontare il concetto di numeri pari e numeri dispari. Molti bambini sanno che il 2, ad esempio, è un numero pari e il 3 invece e dispari ma non si sono ovviamente mai posti il problema del perché e di quali differenze vi siano. Si procede in maniera molto semplice anche in questo caso con esempi pratici e la lavagna. Richiamo alla memoria il concetto di dividere a metà una quantità e prendendo una serie di oggetti sperimentiamo subito che le quantità che è possibile dividere a metà (e quindi in due parti uguali) è pari mentre la quantità che divido a metà ma che lascia una unità di resto fuori dalle due coppie equipotenti è dispari. Se ho 5 matite e le devo distribuire a due due compagni in parti uguali posso soltanto dare 2 matite a ciascuno e una resta a me. Facciamo diversi esempi con gli oggetti e contemporaneamente disegno alla lavagna. Scopriamo che i numeri pari sono il 2, il 4, il 6, l’8 mentre i dispari sono l’1, il 3, il 5, il 7 e il 9. Faccio notare ai bambini che non abbiamo bisogno di imparare a memoria tutti i numeri o fare esempi concreti per stabilire se sono pari o dispari. Se prendo un numero a tre cifre mi basterà osservare l’unità: se questa è pari anche tutto il numero lo sarà. La stessa regola vale con i dispari. Facciamo comunque un esempio sia con un numero pari a due cifre pari e con un numero a due cifre dispari. E i numeri che terminano con lo 0? Beh, pensiamoli come se fossero “decine”. Il 10 lo possiamo dividere in due parti uguali? E il 100? E il 20? Abbiamo visto che se un numero ha la cifra delle unità pari a zero può essere diviso per due e quindi è pari. Rinforziamo il concetto sul libro attraverso una serie di esercizi veloci.
Il concetto di “RESTO” emerso con i numeri dispari mi aiuta a introdurre la divisione con il resto. Ma prima di parlarne chiedo ai bambini quando hanno sentito questa parola e a quale altra operazione viene ricollegata. Ne approfitto un po’ per ripassare la sottrazione e faccio presente che il resto, inteso come una quantità che non viene divisa ma “resta fuori”… Facciamo subito un esempio riportando alla memoria proprio la divisione di un numero dispari per 2. I bambini comprendono subito di cosa stiamo parlando. Usando le loro parole: “Se io ho 7 oggetti e li devo dividere per 2 posso metterne 3 da una parte e 3 dall’altra mentre 1 mi resta in mano, non riesco a distribuirlo“. Ma possiamo ogni volta ricorrere ai disegni o agli esempi pratici? E se devo dividere per 3? Ho sempre 7 oggetti e li devo dividere in 3 gruppi omogenei. Proviamo: “Formo 3 gruppi da 2 e 1 resta fuori”. Passiamo al matematichese e trasformiamo l’esperienza in termini numerici aiutati dai simboli. 7:2=3 e me ne resta 1 fuori; 7:3=2 e me ne avanza 1. Ma come dobbiamo ragionare se abbiamo a che fare coi numeri più grandi? Proviamo con il vecchio metodo usato con i numeri divisibile perfettamente. Mi chiedevo “Qual è il numero che moltiplicato per 2 mi permette di ottenere 7?” Faccio immediatamente notare ai bambini che il 7 è un numero dispari quindi sarà impossibile trovarlo nella tabellina del 2: questo è per noi un campanello dall’allarme. Sicuramente avremmo un resto! E allora mi domando: “Qual è quel numero più vicino e inferiore al 7 che trovo nella tabellina del 2?” – “Il 6 maestra!” – “Benissimo… quindi il 2 a quale numero lo moltiplico per ottenere 6?” – “al 3“. Ecco, possiamo dire che 7:2=3 ma non siamo soddisfatti: infatti 2×3=6 (richiamo il concetto di operazione inversa)… quanto mi manca per arrivare al 7? “Manca una unità!!” – “Quello è il resto. Infatti 7:2=3 resto 1“. Mentre spiego tutto questo scrivo e rappresento alla lavagna. Mi aiuto con immagini semplici e comprensibili. Faccio molti esempi e chiamo i bambini stessi a scrivere e ragionare. Per molti di loro il ragionamento è intuitivo e veloce, altri si confondono perché tendono a scrivere i risultati in questo modo (facendomi comunque capire che hanno metabolizzato l’algoritmo di calcolo): 7:2=6 resto 1. Hanno compreso il discorso di cercare il numero più vicino e lo scrivono come risultato. Colgo questa occasione per fare un esempio pratico che richiama proprio il concetto di divisione. “Se io ho 7 figurine e le devo distribuire equamente a 2 compagni… ti pare possibile che ne consegno 6 a uno e 6 all’altro? Dovresti avere poteri magici e far aumentare la quantità!” – “Eh sì, dovrei averne 12!“. Faccio notare che l’esecuzione di un calcolo si porta sempre dietro il significato di ciò che stiamo facendo: quindi massima attenzione ai simboli usati e ai numeri! Sulle divisioni con il resto è necessario allenarsi tanto e soprattutto richiamare costantemente alla mente la tavola pitagorica.
Il discorso della divisione lo affronto anche con il Metodo Bortolato presente nel libro La Linea del 100 e il software di riferimento che ho acquistato e utilizzo alla LIM. Il metodo consente di focalizzare l’attenzione sulla tabellina di riferimento e visualizzare facilmente quante volte una quantità è contenuta in un’altra visualizzando, nel caso, anche il resto (rappresentato sulla linea verticale con dei puntini). Anche per operare in questo modo è comunque necessario fare molti esempi ma i bambini imparano abbastanza velocemente. In tutto questo marasma di divisioni un bambino mi domanda che possiamo anche risolverle in colonna. Per quest’anno ci limiteremo alla risoluzione in riga perché risolveremo divisioni semplici che non necessitano di operare in colonna. Approfondisco anche il discorso della colonna e faccio capire loro (con esempi concreti) quando effettivamente abbiamo la necessità di utilizzare l’incolonnamento con le 4 operazioni. In effetti comprendono subito che per ora la divisione in riga è la soluzione ottimale: la colonna la utilizziamo se è necessaria e in questo caso non lo è.
Tempo fa ho preparato una lezione basata sulla flipped learning sul concetto di divisione che utilizzerò con la mia classe per ripassare i concetti appresi e verificare in classe e in piattaforma Edmodo gli obiettivi raggiunti. Trovate l’intera progettazione del percorso didattico ma anche tutto il materiale che ho prodotto ed è disponibile online. Spero che vi possa tornar utile. Buona divisione a tutti 🙂
Ecco il mio percorso: Una Learning Cycle sul concetto di divisione
