Matematicando in classe terza. (10) Magie matematiche: trucchi per scoprire se la divisione ha resto oppure no!

In questi ultimi giorni la divisione ci ha fatto sudare sette camicie. Siamo passati infatti dalle divisioni in riga – di tipo semplice come “49:7” – a quelle in cui è necessario operare in colonna quindi con dividendi maggiori a due o tre cifre. Devo dire che la prima giornata di presentazione dell’algoritmo di calcolo ha in parte spaventato, in parte incuriosito e in parte “Maestra, ma è facilissimo!“. Ciò che mi è premuto fare immediatamente è stato rassicurare tutti. “La divisione in colonna, a differenza delle altre operazioni, appare più complessa perché in realtà vengono richieste più competenze: saper individuare quante volte un numero è contenuto in un altro, mettere a frutto i calcoli con le tabelline, compiere sottrazioni e acquisire dimestichezza con la procedura da seguire. Se adesso vi sembra difficile o impossibile da memorizzare sappiate che è normale. Provate a ricordare quanto vi sembravano difficili le prime addizioni in colonna con i cambi… ma dopo pochi giorni riuscivate a risolverle senza problemi. Anche in questo caso è questione di allenamento ed esercizio e poi tutto diventerà più semplice.” Li ho rassicurati sul fatto che per alcune settimane avremo continuato a fare esercizi (a scuola ma anche a casa… per consolidare) sul libro, sul quaderno e alla LIM con il software della Linea del 1000. In questa fase la preoccupazione non è una buona amica anzi… non fa altro che mettere i bastoni tra le ruote. Così da una decina di giorni procediamo nell’esercizio. Abbiamo visto divisioni a due, tre e quattro cifre al dividendo e operato con e senza resto. Ci siamo anche concessi di verificare le nostre divisioni con la prova. Chi più e chi meno sembra abbia acquisito il procedimento ma non mi preoccupo se qualcuno ancora tentenna o ha dei dubbi. Il tempo farà la differenza.

Per creare dei momenti di respiro ho alternato le “lezioni di esercizi” a lezioni diverse. La prima occasione si è presentata con un compleanno triplo che mi ha dato l’idea per inventare una situazione problematica con la divisione e riflettere ancora una volta su quanto sia importante la matematica anche per la risoluzione di piccoli problemi quotidiani. Ecco il mio problema:

Maestra, ma come hai fatto a trovare un problema che ha i nostri nomi e le età giuste?” Ehehehe … me la rido sotto i baffi.  Ci siamo divertiti a ragionare, calcolare, trovare soluzioni e rappresentare chiamando ovviamente in causa anche la divisione. Inizialmente soltanto due o tre bambini sono partiti verso la soluzione del problema mentre molti erano intimoriti dal testo: tanti dati numerici, più domande da gestire. Dopo averli tranquillizzati dicendo loro di procedere pezzo per pezzo come in un puzzle e dando loro la certezza che erano in grado di risolverlo al meglio… anche gli altri hanno preso il via e in breve tempo sono giunti alla risoluzione.

Ma è stato con la lezione di MATEMAGIA che li ho davvero stupiti. Cosa ho proposto e come mi è venuta l’idea? Sfogliando il nostro libro di matematica ho notato che gli esercizi vengono sempre distinti in divisioni senza resto e divisioni con resto. Sarà un modo per rassicurare i bambini e farli operare aspettandosi un determinato risultato? Ho iniziato un po’ a ragionare su questo aspetto e mi è venuto in mente quanto sarebbe stato curioso per i bambini sapere… o meglio “prevedere” se la divisione ha un resto o meno senza il suggerimento del libro e addirittura senza risolvere l’operazione. Ovviamente noi adulti conosciamo i criteri di divisibilità e il legame tra multipli di un numero e divisori ma i bambini, in questa fase, ancora non ci sono arrivati. Proprio per la mia idea di matematica, ho deciso di pensare un’attività che li portasse a riflettere sui multipli e sui criteri di divisibilità in maniera curiosa e spontanea. Il discorso verrà ovviamente affrontato e approfondito in seguito, come alla fine della lezione ho spiegato loro, ma intanto pianto qualche semino per il futuro.

Per predisporre la lezione ho cavalcato un’onda di interesse molto forte nella mia classe: Harry Potter! Così ho predisposto una bella pagina LIM dai toni misteriosi. Sfondo nero, un tendone rosso da teatro, titolo accattivante in rosso fuoco e, elemento importantissimo, colonna sonora ad hoc. Ho chiamato una bambina alla LIM e le ho chiesto di cliccare con la penna sulla scritta rossa e improvvisamente è partita la musica del film di Harry Potter. I bambini erano in visibilio! Alla lavagna nera poi al loro ingresso in aula avevano trovato la scritta “Oggi bacchette magiche!” quindi si aspettavano una lezione davvero magica! “Oggi bambini vi svelerò dei trucchi matematici che hanno sapore di magia. Imparerete a prevedere se una divisione ha il resto oppure no… e senza dover risolvere la divisione!!!” I bambini, molto stupiti e curiosi, sono entrati in fibrillazione. “Maestra, ma serviranno bacchette magiche?“- “Beh, diciamo che la nostra bacchetta magica sarà la matematica, un po’ di attenzione e poi… un compagno di avventure che abbiamo già incontrato: l’algoritmo! Un algoritmo speciale che ci guiderà alla scoperta del mistero e, quasi come una formula magica, ci farà scoprire i segreti della divisione che prenderemo in considerazione.”

Iniziamo con ordine e partiamo con le divisioni che hanno un divisore uguale a 2. Mostro alla LIM l’algortimo che prenderemo in considerazione (sfrutto la funzione tendina e mostro pezzo per pezzo, quasi a srotolarlo, l’algoritmo che poi scriveremo anche sul quaderno) e alla lavagna nera scrivo una serie di divisioni diverse (a due, tre, quattro cifre al dividendo… pari e dispari) oggetto delle nostre previsioni. Ecco l’algoritmo presentato alla LIM:

Seguendo queste semplici indicazioni prendiamo la prima divisione. Ha il divisore che è 2? Ok, allora vado avanti. Osservo il dividendo: quante cifre ha? Riusciamo a capire se è pari? Come? (ricordano bene le regole e individuano subito la risposta) Seguiamo l’algoritmo e rispondiamo sì o no  riuscendo a individuare se ci sarà o meno il resto. Passiamo al setaccio tutte le divisioni scritte alla lavagna e scriviamo accanto “con resto” o “senza resto”. Il trucco è facilissimo da applicare ma sarà valido? “Bambini, come facciamo a sapere se il trucco funziona? Ci fidiamo o verifichiamo? Come possiamo farlo?” Suggeriscono che sarà necessario fare la divisione e così, dopo aver scritto l’algoritmo sul quaderno propongo di risolvere due divisioni (una pari e una dispari al dividendo) per verificare se il trucco è valido. Ovviamente il trucco funziona alla grande e loro sono molto soddisfatti. Presi dall’impeto risolviamo oralmente alla lavagna tutte le divisioni e scopriamo che il trucco è davvero infallibile.

Propongo una riflessione: qual è il fulcro della questione? – Ovviamente che il divisore sia 2 e il dividendo pari. – E ricordate come facciamo a riconoscere i numeri pari? – Sono quei numeri che posso dividere perfettamente per due! – Ecco svelato il mistero!

Maestra, ma come facciamo a scoprire se c’è il resto o no… se il divisore è, ad esempio, il 3?” E magia della magie… perché la maestra prevede il futuro… clicco sulla LIM e passo alla pagina successiva dove compare il trucco per le divisioni con divisore 3! “Ohh… maestraaa… è una lezione davvero magica!!!” Beh, ci sono momenti davvero difficili nella vita di un insegnante in cui lo sconforto prende davvero piede e situazioni complicate sembrano prendere il sopravvento demotivandoti e facendoti quasi cedere ma, diciamocela tutta, in certe situazioni il nostro mestiere è davvero divertente. “Proviamo a ipotizzare un trucco, cosa vi viene in mente?” Una bambina ipotizza che se i numeri pari sono divisibili per due senza avere resto… allora forse in questo caso lo saranno i numeri dispari visto che il divisore è un numero dispari. Andiamo subito alla LIM e verifichiamo. Ovviamente scelgo un numero dispari che diviso per 3 ha il resto. In questo caso, già dal primo esempio vediamo che il trucco non è applicabile. Potrebbe essere applicabile per alcuni numeri come 27 oppure 135 ma non per 113 che sebbene sia dispari mi da un resto. Presento l’algoritmo come ho fatto precedentemente e lo leggiamo insieme. Sembra simile all’altro ma la condizione da rispettare affinché non ci sia resto è diversa: la somma delle cifre che formano il dividendo deve essere un numero multiplo di tre quindi presente nella tabellina del 3.

Come prima scrivo una serie di divisioni con divisore 3 e cerchiamo di capire se esiste o meno un resto. Mi soffermo un attimo per verificare che tutti abbiano capito cosa significhi fare la somma delle cifre che compongono il dividendo con semplici esempi veloci. Dopo di che controlliamo se le somme sono numeri presenti nella tabellina del 3 e quindi multipli di 3 pertanto divisibili per 3. Lavoriamo esattamente come fatto con il divisore precedente, sfruttiamo il trucco magico, verifichiamo risolvendo le divisioni e arriviamo alla conclusione: questo algoritmo funziona!

Ma sarà possibile anche con divisori diversi da 2 o 3? Siamo arrivati così alla pagina di Numerello, il personaggio matematico che conosciamo dalla prima e che spunta fuori di tanto in tanto per stimolare le nostre curiosità.

Sicuramente si possono trovare nuovi trucchi e con il tempo lo faremo e li imparerete. Per ora imparate questi due. A cosa mai vi potranno servire? Certamente a verificare lo svolgimento di una divisione. Se avete un dividendo pari e un divisore 2 e ottenete un resto vi dovrà suonare il campanello di allarme: qualcosa nella risoluzione è andato storto. Ecco, questo può essere un aiuto in più per capire se state operando bene o male. Farlo è semplice e veloce”. Dopo questo breve passaggio però lancio una nuova sfida: “Vediamo se riuscite a scoprire il trucco con un divisore uguale a 5. Sono certa che appena vi farò una domanda… capirete subito? Proviamo? – la concentrazione della classe è alle stelle, riusciranno nella magia? – Come sono i prodotti della tabellina del 5?” Le mani si alzano, le voci si spiegano e ci arrivano, come prevedevo, in pochi secondi. Se un numero finisce con 0 o 5 ed è diviso per 5 non avrà resto! Verifichiamo al volo e ci sentiamo davvero magici!!!

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