Matematicando in classe terza. (5) Che problema i problemi! Riflessioni, approcci ed esperienze.

Premessa e nocciolo della questione. Siamo in grado di metterci in gioco per cambiare il nostro approccio alla matematica? Una questione che mi assilla ultimamente: quanto le vecchie prassi, quelle che sembrano consolidate e che si danno per scontate, sono in realtà efficaci, coinvolgenti e didatticamente proficue? Nella prassi quotidiana cerco costantemente di mettermi in gioco, di aggiornarmi, di prendere spunto dai miei studi ma soprattutto dall’osservazione dei bambini in classe… dai loro atteggiamenti, dal loro modo di apprendere, di arrendersi, di incaponirsi o semplicemente di affrontare le cose.  Una cosa è certa: molti approcci che si utilizzano a scuola non sono quelli giusti o, almeno, spesso sembrano essere controproducenti. Un esempio classico è: che necessità c’è di ostinarsi a far scrivere sopra le operazioni in colonna i simboli di centinaia, decine e unità se i bambini hanno acquisito il valore posizionale delle cifre e riescono a risolvere comunque le operazioni? Perché si deve insistere sul far usare (casi anche in quinta elementare) i colori convenzionali appositi delle penne se è evidente che per i bambini è solo motivo di stress e fatica inutile che allontana dal vero obiettivo da raggiungere: risolvere correttamente un calcolo e acquisirne l’algoritmo?

Ho cercato, col tempo e grazie allo studio ma soprattutto all’esperienza sul campo, di spazzare via vecchie prassi e devo dire che alla fine ho avuto dei risultati. Dallo scorso anno, ma ancora di più con l’inizio della terza, ho iniziato a riflettere sull’approccio alla risoluzione dei problemi. Molti bambini riescono a risolverli in maniera intuitiva mentre altri hanno difficoltà o blocchi davanti al testo problematico (e parlo anche di bambini che in matematica riescono bene sia nei calcoli che nella logica). Con i problemi la prassi più seguita (da colleghi e anche nei libri proposti agli alunni) è: sottolineatura del testo problematico con colori diversi per dati e domanda, raccolta dei dati e focalizzazione sulla domanda, esecuzione dell’operazione in riga e in colonna, diagramma a blocchi (!) e risposta. Spesso mi sono chiesta da dove derivasse questa prassi lontana nel tempo. Quando ho studiato la matematica io (elementari, medie e superiori) tutto questo non veniva proposto. Io ho sempre provato un piacere immenso nel risolvere situazioni problematiche: le prendevo come sfide vere e proprie. Quando all’università ho sostenuto l’esame di Logica e matematica e quello di didattica della matematica questo tipo di approccio non è mai saltato fuori se non come qualcosa da “rivedere” o da proporre prestando accorgimenti di un certo tipo. Nel mio lavoro ho notato che la maggior parte dei bambini di prima elementare risolve oralmente situazioni problematiche (adatte alla loro portata ovviamente) senza difficoltà. Per un anno ho proposto problemi quasi quotidianamente e loro hanno sempre trovato giuste soluzioni. Quando poi si è passati al testo scritto sono iniziati i primi tentennamenti. Con il Metodo Bortolato, e i suoi problemi per immagini, si è andati per tappe diversificate: alcuni bambini lavorano meglio con le immagini e altri meno. Semplificando il problema e non chiedendo una serie di incombenze (molti bambini le vivono così) come ad esempio raccolta di dati e sottolineature… è certo che il bambino lavora in maniera più serena e si concentra sul nocciolo della questione. In seconda i bambini prediligevano i problemi “mascherati da altro” (proposte di situazioni problematiche quotidiane da risolvere in gruppo) oppure quelli che richiedevano solo l’individuazione dell’operazione. Ci siamo divertiti con i problemi impossibili, abbiamo scoperto che possono esistere dei dati inutili o addirittura mancanti… per poi arrivare alla questione vera e propria: cos’è un problema e come posso risolverlo. “Leonardo ha dimenticato la merenda a casa, come possiamo risolvere questo problema? – Gli diamo un pezzo della nostra merenda”. “La maestra ha portato 40 caramelle e nel distribuirle ai suoi 20 alunni non vuole fare favoritismi e fare in modo che ognuno abbia la stessa porzione. Quante caramelle può dare a ciascuno? – “40:20=2”. Problemi diversi con soluzioni diverse.

Le questioni cruciali potrebbero essere queste: è possibile apprendere mettendosi in gioco (facendo, ad esempio, del laboratorio matematico come luogo di apprendimento)?; Quali strumenti sono i più adatti?; Quali approcci mi consentono di favorire l’acquisizione di competenze? Quanto è importante  sviluppare percorsi di libertà creativa alla ricerca di intuizioni motivanti? Molti di noi insegnanti, ma anche genitori e di conseguenza i loro figli, ancora credono che sia necessario proporre in continuazione problemi (magari simili) da far risolvere in modo che il bambino acquisisca – quasi per automazione – l’esecuzione del problema. Allo stesso tempo il bambino può non essere consapevole cosa significhi davvero risolvere una situazione problematica o cosa in realtà l’insegnante voglia da lui: quale prestazione mi è richiesta? Sì, perché risolvere un problema non ha mai un unico obiettivo da perseguire e non sempre osserviamo o valutiamo un solo aspetto. Valutiamo la capacità del bambino di comprendere il problema e ricercarne i dati utili al fine di trovare una soluzione? Valutiamo la capacità di eseguire una serie di passaggi che portano al risultato finale? Valutiamo la capacità di individuare l’operazione? Valutiamo anche la correttezza del calcolo? Valutiamo la capacità di ragionamento o l’intuizione? Ecco, vi renderete conto che valutare un bambino alle prese con un problema non è mai semplice e se alcuni aspetti sfuggono diventa anche complicato aiutarlo nel suo percorso di crescita e apprendimento. Da insegnante, mi chiedo “Cosa è importante per il bambino? Risolvere sempre problemi in serie e concentrarsi sulla correttezza dell’operazione o invece sviluppare percorsi che inducano il bambino a mettersi in gioco e ragionare per poter infine procedere in autonomia alla risoluzione di situazioni problematiche variegate?”. Io, per come sono fatta, scelgo la strada più difficile ma anche quella che regala maggiori soddisfazioni: utilizzare le proprie capacità cognitive, le proprie intuizioni e il pensiero divergente per risolvere ipoteticamente infinità di problemi diversi. La matematica è una sfida, un gioco, libertà creativa e non solo regole, algoritmi di calcolo e procedure. Tutto è necessario per procedere del sapere matematico.

Proprio per la complessità di quanto viene richiesto credo che sia importante far presente ai propri alunni ciò che verrà osservato e valutato: la progettazione autonoma o la capacità di lavorare in gruppo per la risoluzione del problema? La capacità di comprendere, dedurre e risolvere? La creazione autonoma di un testo problematico? La corretta esecuzione dei calcoli con relativo diagramma che lo accompagna? La ricerca dei dati utili, inutili…? Forse i bambini più “forti” possono procedere senza tali esplicitazioni da parte dell’insegnante ma chi ancora si sente incerto o emotivamente più fragile potrebbe essere penalizzato dal non sapere cosa viene richiesto e il lavoro diventerebbe addirittura controproducente.

Altre questioni. Si parla moltissimo di problem solving e problem posing. A scuola sembra che tutto venga affrontato con il problem solving e/o il problem posing. Ma che differenza c’è? Il problem solving è la capacità di risolvere situazioni problematiche nuove che si discostano da meri esercizi. La capacità di elaborare strategie per risolvere un problema tenendo conto dell’esplorazione di regole (norme, esperienze) già note e applicate, fare e scartare ipotesi, analizzare la situazione da più punti di vista, creare nuove regole utili… La risoluzione di quel problema deve “provocare” pensieri nuovi, deve diventare produttivo e generare effetti. Diverso è invece il problema posing, anche se ci troviamo comunque all’interno della stessa problematica. Esso è un modo di porsi all’interno del problem solving che possono tener conto di due diversi modi di agire: creare un problema basato sulla riflessione intorno ad un argomento in esame; prendere in considerazione domande che analizzano situazioni “tipo” ad un problema in esame. Diciamo che la buona prassi ci consiglierebbe di fare del problem solving e del problem posing un modo di approcciarsi alle situazioni problematiche e alla realtà quotidiana in genere.

A tal proposito possiamo essere concordi nel sostenere quanto sia poco conveniente, se non dannoso, trasformare l’analisi delle procedure di risoluzione di un problema in tappe forzate e blindate da proporre ai bambini. I passaggi per la risoluzione dei problemi non possono che essere personali, devono essere metabolizzati per essere compresi e poter essere poi riutilizzati in problemi simili. È un po’ il discorso che porto avanti dalla prima con lo sviluppo del pensiero computazionale e il coding. In tutto questo “comprendere, ragionare, analizzare e operare” si procede da soli ma anche in gruppo. Il confronto con i pari e l’intervento stimolatore del docente sono fondamentali. Saper comprendere sin dove ci si può spingere e proporre nuovi approcci o sfide è fondamentale per stimolare curiosità, motivazione e nuovi orizzonti risolutivi. Correre lungo la zona di sviluppo prossimale (che Vygotskij definisce come “la distanza tra il livello effettivo di sviluppo così com’è determinato da problem solving autonomo e il livello di sviluppo potenziale così com’è determinato attraverso il problem solving sotto la guida di un adulto o in collaborazione coi i propri pari più capaci) ci consente senz’altro di esplorare nuovi orizzonti. La possibilità di lavorare insieme, collaborare, avere come tutoring un compagno o una compagna, è fonte di apprendimento ricco. Dalla mia esperienza, e con gruppi di lavoro ben calibrati, anche i bambini più insicuri o con difficoltà nella comprensione dei problemi riuscivano alla fine a dare il loro apporto e a comprendere ciò che con il classico testo problematico da risolvere sul quaderno – secondo la solita prassi – non riuscivano ad affrontare.

Dobbiamo essere capaci di accantonare le vecchie prassi, se ci rendiamo conto che non funzionano, per abbracciare con slancio la sperimentazione. Un esempio classico è tutto quel malloppo di roba che viene fatto scrivere prima di arrivare alla risoluzione del problema e che si pretende talvolta senza che ce ne sia proprio bisogno. Purtroppo ci si concentra troppo spesso su tutto ciò che sta di contorno al problema: “Ho risolto subito il problema ma la maestra VUOLE che raccolga i dati e faccia anche il diagramma… e non so come fare”. Ho sperimentato che i bambini spesso risolvono il problema ma poi si perdono o si affaticano inutilmente (anche mettendo poi in discussione la risoluzione del problema stesso) con la raccolta dati e il diagramma. Siamo proprio sicuri che la famosa raccolta dei dati sia la vera chiave risolutiva per il raggiungimento del risultato? Non sarebbe più proficuo far cercare di rielaborare il problema, tipo riassunto, oralmente o anche in forma scritta… per comprendere se il bambino ha chiara la situazione problematica da risolvere? La raccolta dei dati, fatta nel modo in cui spesso viene proposta, diventa solamente un carico di lavoro inutile. I passaggi per risolvere un problema dovrebbero essere personali: è didatticamente poco conveniente , anzi, assolutamente dannoso, trasformare l’analisi delle procedure di risoluzione di un problema in tappe da proporre agli allievi (Bruno D’Amore “Problemi e laboratori: metodologie per l’apprendimento della matematica”). E poi… è davvero utile rifare più volte lo stesso esercizio? Quante volte si propone lo stesso tipo di problema per far acquisire il metodo giusto… o non si passa a problemi di tipo diverso perché “non si è ancora arrivati alla risoluzione di quel tipo di problemi”!? Questo tipo di approccio è anti-matematico e oltretutto, come afferma Luchins, porta alla generazione dell’Effetto Einstellung (fermata, sospensione, interruzione): l’aver acquisito un metodo che dà frutti positivi è l’ostacolo a creare strategie nuove.  Kleinmuntz sostiene infatti che finché l’applicazione della strategia appresa funziona, il risultato è positivo ed il soggetto è contento… ma quando tenterà di applicare la stessa strategia a problemi che con quella non hanno niente a che vedere, l’effetto psicologico sarà negativo con conseguente perdita di fiducia nei propri mezzi, più che desiderio di cercare strade diverse.

Arriviamo poi al mio cruccio: quanto senso ha chiedere ai bambini utilizzare schemi di risoluzione che prevedono l’uso di diagrammi a blocchi o di flusso (posto che poi in effetti lo siano). Il fatto è che si crea grande confusione e si tende a voler proporre ai bambini “modellizzazioni adulte” come se fossero “strategie risolutive”. Un conto è richiamare l’attenzione alla macchina delle addizioni (che ricorda un diagramma), utilizzata fisicamente in prima per acquisire il concetto di addizione come unione e somma, nel momento in cui risolviamo un problema… un altro è chiedere di default il diagramma dopo la decodifica numerica risolutiva del problema. I bambini opereranno per automatismi ma senza sapere il perché. Una precisazione poi va fatta: il diagramma a blocchi (o anche algoritmo) non è la risoluzione del problema e il bambino non utilizza questo tipo di diagramma per arrivare alla soluzione (parlo dei diagrammi secondo il modello top down che si vedono spesso nei quaderni dei nostri bambini e nei libri di testo). C’è ancora chi pensa che disegnare il diagramma a blocchi prima di effettuare la vera e propria risoluzione del problema possa essere una richiesta lecita che convince il bambino ad utilizzarlo come aiuto metodologico. Ma non è così: per lui questa risulta un’imposizione, un peso inutile… come se dovesse risolvere lo stesso problema due volte! Sarebbe invece più proficuo chiedere di rappresentare con un diagramma un problema già risolto da altri.

Lasciamoci alle spalle anche il sogno che la risoluzione di un problema possa essere regolato da un algoritmo tipo “Per risolvere un problema segui questi passi: 1. Leggi bene il problema; 2. Scrivi i dati; rifletti; 4. Colora le domande; e blablabla… UN PROBLEMA NON È UN ALGORITMO: l’algoritmo consta di un numero finito di passi meccanici per eseguire i quali non occorre essere creativi ma solo applicare regole; nella risoluzione del problema c’è invece necessità di almeno un momento creativo che è inconciliabile con il punto di vista algoritmico. Il problema si risolve, l’algoritmo si esegue o si calcola. L’utilizzo del linguaggio algebrico ma anche di quello iconico – dei diagrammi ad esempio – sono importanti ma all’interno di una serie di sperimentazioni che tengano conto dell’individualità del bambino e dei processi che lo accompagnano nella risoluzione dei problemi… che sono talvolta personali. Noi insegnanti come dobbiamo operare allora? La via più intelligente, se pur faticosa, è quella di fornire capacità su una vasta gamma di linguaggi possibili (verbale, algebrico, iconico) che permettano infine al bambino di scegliere quello a lui più consono – in base alle necessità e al problema – con consapevolezza e autonomia.

La mia esperienza con la mia terza.  In questi mesi ci siamo dedicati con attenzione ai calcoli con addizione e sottrazione, senza mai trascurare le strategie di calcolo veloce e orale e il significato delle esperienze quotidiane. Le situazioni problematiche ci hanno accompagnato nella quotidianità come approccio alla realtà ma anche come stimolo per affrontare nuove questioni e scoperte. Fare scuola con la maièutica consente al bambino di imparare ad esplorare se stesso e aiuta noi insegnanti a scoprire aspetti dei nostri alunni che diversamente resterebbero celati. Sono tutti bravi a risolvere operazioni sul quaderno una volta assodato l’algoritmo di calcolo e con un po’ di attenzione… ma non tutti sono in grado di ragionare e applicare quanto appreso, metabolizzare le esperienze e metterle a frutto in situazioni simili. Porre domande mirate, sollevare questioni, trovare risposte invece obbliga a mettere in gioco una serie di capacità latenti, sommerse… riportandole alla luce e regalando al bambino la consapevolezza di ciò che conosce e sa fare. La differenza tra conoscenza, abilità e competenza si gioca tutta qui. Il mio motto è da sempre “Sorprendili e spiazzali.. e ti seguiranno!” . “Oggi bambini cari ci immergiamo nel mondo dei problemi ma che non vi salti in mente di iniziare a risolvere la situazione problematica non appena avrò terminato di dettarvi il testo. Questo è un problema a tappe… e procederemo insieme a sviscerarlo“. Prendo come riferimento una situazione di vita reale: la coppa mensa. Quest’anno nella mia scuola è stata istituita la coppa mensa: la classe che in mensa si comporta in maniera esemplare riceve una coppa come premio. In classe segno, su un cartellone,  di volta in volta la coppa vinta e abbiamo stabilito insieme che al traguardo di 10 coppe la classe potrà avere un premio che verrà concordato insieme. Tra classi si è creata una sana competizione su chi vincerà più coppe a fine anno così ho costruito il mio problema.

Abbiamo scritto il testo del problema e lo abbiamo letto insieme. Ho deciso di far scrivere in rosso le domande una alla volta e cercare la risposta via via. Le risposte alle domande sono arrivate veloci ma ho insistito con domande che costringessero alla riflessione: per rispondere a questa domanda e trovare una soluzione è necessario ricorrere ad una operazione?Per la prima e seconda domanda no.Ma come hai fatto a rispondere? Il bambino, aiutato da domande chiave, arriva a scoprire quale procedimento ha operato: ha preso in considerazione i due numeri che esprimono la quantità di coppe vinte da ciascuna classe, le ha confrontate e infine ha stabilito quale fosse la quantità maggiore rispetto all’altra considerata. Abbiamo esplicitato il tutto con la scrittura formale 37 > 29. Anche per trovare la soluzione alle domande successive, molti di loro hanno operato intuitivamente arrivando direttamente al risultato ma, alcuni, non sono riusciti subito a rispondere alla mia domanda “Quale operazione hai utilizzato per arrivare a questo risultato?“. Attraverso una serie di esempi simili, aiutata anche con le immagini e semplici schemi, siamo giunti alla conclusione che abbiamo operato per calcolare una differenza tra quantità riuscendo così a scrivere l’operazione. Abbiamo proceduto così, insieme e con domande mirate. Infine abbiamo riflettuto sul significato della sottrazione con esempi a partire dal testo problematico e individuando nel problema stesso quando abbiamo operato con differenza o resto.

La volta dopo ho impostato il lavoro in maniera completamente diversa: problemi di gruppo. Ho organizzato 4 isole di lavoro composte da 4-5 bambini ciascuna e lanciato la sfida: ogni gruppo avrà a disposizione un foglio a quadretti (scrivete subito in alto i nomi dei componenti del gruppo) nel quale andranno risolti i problemi assegnati; sarà sufficiente scrivere il numero di riferimento del problema (non il testo, non la raccolta dati, ecc),  accanto l’operazione necessaria a risolverlo (in riga e, se ne avete necessità, in colonna) e sotto la risposta completa alla domanda posta; ogni isola avrà un foglio che contiene ben 8 situazioni problematiche, leggetele tutte e di queste scegliete le 4 che preferite risolvere; tutte le decisioni prese (scelta del problema, bambino che deve leggere il testo a voce alta, chi deve scrivere, chi e come operare) devono essere prese insieme e in accordo… Se qualcuno non è d’accordo deve motivare qualsiasi presa di posizione argomentando; una volta risolti i 4 problemi scelti si consegna il foglio dei testi problematici a me. Cosa osserverò e valuterò durante il lavoro? 1. la capacità di prendere le decisioni in gruppo, mediare, cooperare per il raggiungimento di un fine comune; 2. la capacità di scegliere l’operazione corretta, operare anche adottando strategie di calcolo in base alla situazione; 3. la capacità di formulare risposte pertinenti e complete. Scelgo in ogni isola un referente che dovrà gestire i toni della voce e i momenti critici e così i bambini iniziano a lavorare insieme. Le isole di lavoro sono abbastanza calibrate e, tolto un unico gruppo che ha difficoltà a trovare un accordo per lavorare, tutto procede al meglio. Io passeggio tra i banchi, mi soffermo ad ascoltare come argomentano, come gestiscono il lavoro, come dividono il carico di lavoro. Prendo appunti, faccio osservazioni. Noto con piacere che anche chi è solitamente in difficoltà si sente rassicurato dall’aiuto dei compagni e riesce comunque a interagire e a far proposte; i bambini più veloci nel calcolo vengono subito assoldati per svolgere la funzione di “calcolatrici umane” 🙂 mentre chi è ordinato e preciso viene assoldato per scrivere sul foglio. Insomma, alla fine del primo round faccio i complimenti a tutti per come il lavoro è stato portato a termine e come siano stati abili anche a sfruttare le competenze di ognuno. Il bello del lavoro di gruppo è che ognuno riesce a dare ciò che sa fare meglio e allo stesso tempo ad apprendere dagli altri. Pronti per il secondo round inverto i fogli (chi aveva il foglio A ora avrà quello B con problemi diversi) e questa volta chiedo di scegliere solo due problemi. Qualche bambino mi chiede se i problemi sono anche con le divisioni o le moltiplicazioni… (il grande cruccio di molti “La maestra ci darà problemi con le 4 operazioni o solo con addizione o sottrazione) ma io rispondo che leggendo attentamente sono perfettamente in grado di scoprirlo da soli. Chi nel primo round aveva trovato difficoltà a cooperare con il gruppo… nel secondo tentativo riesce ad ingranare e in breve tempo tutti hanno concluso. La correzione è collettiva: “Sul banco voglio solo il foglio con la risoluzione dei problemi e una penna rossa per correggere eventuali errori“. Io vado alla LIM e procedo a correggere, leggendoli insieme a loro, tutti e 16 i problemi (8 problemi per foglio A e 8 per foglio B). Di volta in volta chiedo chi abbia scelto quel problema e lo faccio risolvere al gruppo che non lo ha scelto. Alla lavagna segno tutto, si discute e si correggono gli errori. “Se è tutto corretto scrivete OK vicino alla risposta… altrimenti correggete. Se avete sbagliato solo il calcolo scrivete OK meno… perché mi interessa comunque verificare se abbiate comunque compreso quale operazione impostare”. Alla fine della nostra ora e mezza tiro le somme e attribuisco a ciascuna isola un punteggio che tenga conto di tutti gli aspetti menzionati all’inizio. “Domani faremo un’attività individuale e se lavorerete bene da soli confermerò il voto assegnato al gruppo anche a ciascuno di voi“.

Il giorno dopo detto due problemi fatti scrivere in pagine diverse. La consegna è semplice: dopo aver letto il problema assegnato (li assegno diversi per compagni di banco e poi faccio il cambio) dovete segnare con il verde solo i dati utili e con il rosso la domanda, poi procedete alla risoluzione in riga o in colonna (se avete necessità potete pure fare la prova) e rispondete in maniera adeguata. In due turni che durano all’incirca una mezz’ora tra risoluzione e correzione abbiamo risolto i nostri problemi e li abbiamo pure corretti alla lavagna, insieme. Loro, come sempre correggono con la loro penna rossa mentre io risolvo alla LIM con i loro suggerimenti. Alla fine assegno i punteggi complessivi e tiro le somme anche in base al lavoro svolto in precedenza nel gruppo.

Per rilassarci, nell’ultima ora di lezione rimasta, rimaniamo nel mondo dei problemi ma questa volta cambiamo sistema: testi illustrati. Con il problemi illustrati in stile Bortolato ragioniamo insieme senza stressarci con la scrittura ma disegnando velocemente e ci aiutiamo con cifre e diagrammi. Io disegno alla lavagna (inventando semplici problemi di volta in volta) e loro risolvono. Proviamo poi a raccontare una situazione problematica a partire dal testo illustrato. Disegniamo a matita, scriviamo con la penna blu i dati numerici e con la rossa ciò che dobbiamo scoprire. Ecco alcuni dei tanti nostri esempi…

Per approfondimenti e suggerimenti vi consiglio il libro dal quale ho approfondito le mie riflessioni: Problemi e laboratori. Metodologie per l’apprendimento della matematica. Bruno d’amore e Ines Marazzini, Pitagora Editrice Bologna

Vi ricordate il lavoro fatto in seconda con l’euro? Il Mercatino dell’euro riscosse così successo che anche quest’anno a fine anno proporrò un gioco di ruolo di questo tipo ma in versione avanzata 🙂

 

A proposito di Michela Secchi

Insegnante di scuola primaria di ruolo da diversi anni a Cagliari. Ho scelto di essere maestra per continuare a fare ciò che ho sempre amato: studiare, creare, giocare e insegnare con il sorriso. Credo nella collaborazione, negli scambi e nella ricerca.

Guarda tutti i post di Michela Secchi →

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

*