Geometria in classe quarta. (3) Consolidamento sugli angoli

Prosegue il nostro lavoro con la geometria che, dallo scorso anno, è un appuntamento settimanale fisso per la mia classe.  Il monte ore disponibile da dedicare alla matematica, nel mio orario settimanale, è di circa cinque o sei ore (che oscillano in base alle necessità anche tenendo conto delle altre materia che insegno). Viene organizzato quasi sempre in questo modo: il lunedì e il venerdì ho le prime due ore che dedico all’aritmetica (numeri e calcoli, situazioni problematiche ecc), il giovedì o mercoledì ho un’ora (che a volte alterno con le scienze) in cui faccio consolidamento e il martedì pomeriggio  un’ora è dedicata alla geometria. In casi particolari ovviamente stravolgo l’orario e può capitare che se ho necessità di dedicare più tempo alla geometria, magari quando organizzo un laboratorio un po’ di complesso, allora la si fa la mattina… quando ho due ore. Fondamentalmente cerco di non trascurarla come invece spesso capita. Non comprendo come alcuni colleghi decidano di fare geometria nel tempo perso, limitandosi magari a utilizzare i pochi contenuti presenti nel libro e addirittura escludendo quasi completamente l’aspetto dedicato al disegno, all’utilizzo degli strumenti e alla possibilità di manipolare e sperimentare con le figure. Capita che molti bambini approdino alle scuole secondarie di primo grado senza neanche saper utilizzare riga e squadra o non abbiano dimestichezza concreta con i concetti geometrici. Ma come si può insegnare la geometria senza “fare geometria”? Io spero che venga superata la fase del “Fare i calcoli è più importante… non ho tempo per fare anche geometria!” come se la geometria non fosse importante quanto l’aritmetica o non si portasse comunque dietro concetti matematici. Con la geometria si misura, si calcola, si eseguono le prime classificazioni, si risolvono problemi, ci si confronta con la realtà, si calcolano proporzioni e relazioni, si progetta e si crea. Proprio per questo motivo la geometria ha un posto di riguardo nel nostro monte ore settimanale. Si lavora alla LIM e sul quaderno; facciamo pratica con gli strumenti, manipoliamo materiale strutturato e non, riflettiamo sui concetti mentre sperimentiamo e riflettiamo su essi, facciamo esempi e li confrontiamo. Infine sfogliamo il libro… dove ritroviamo in poche righe quanto noi abbiamo sondato con l’esperienza concreta. Moltissimi insegnanti lavorano come noi e questo è sicuramente un bene. Un tempo la geometria si faceva solo sui libri lasciando i bambini in un mondo talmente astratto e privo di stimoli che faceva di questa disciplina qualcosa di arido che poi veniva completamente abbandonato. Io stessa, da studentessa della elementari, non ho avuto modo di poter sviluppare al meglio  questi aspetti… nonostante il mio maestro fosse un ottimo insegnante che mi ha fatto amare la matematica.  Quando alle superiori affrontai la geometria analitica era oramai troppo tardi: mi mancavano tanti tasselli! Per fortuna riuscii comunque a superare l’intoppo… ma quanta fatica. E soprattutto: che peccato! Studiare e apprendere con cognizione di causa è sicuramente un’altra cosa!!!

Ma torniamo a noi dopo questa lunga premessa. Dopo aver affrontato la rotazione dei segmenti abbiamo proseguito il nostro camino riprendendo in mano il concetto di angolo già introdotto in terza.  Il discorso si ricongiunge proprio alla rotazione dei segmenti. Bruno D’Amore ricorda che ci sono vari modi per considerare gli angoli e uno di questi è che esso sia il risultato di una rotazione compiuta da due segmenti posti sul piano. Questo concetto, richiamato proprio durante la sperimentazione con le rotazioni, mi permette di sviluppare quanto appreso lo scorso anno e intessere diverse lezioni. I bambini hanno effettuato precedentemente una serie di esperienze in cui ruotando un segmento (e rappresentando la rotazione stessa) hanno potuto apprezzare quanto questo cambiamento di posizione determinasse sul piano una porzione di spazio differente in base alla rotazione stessa. Prendendo come punto fisso il vertice (ossia il punto in cui i due segmenti vengono rappresentati) si osserva infatti la porzione di spazio (ampiezza) determinata dalle diverse rotazioni dei segmenti (lati nel caso dell’angolo formatosi).  Prima di riprendere in mano la definizione di angolo e procedere al lavoro di rappresentazione e classificazione degli stessi (si tratterà comunque di un richiamo delle conoscenze pregresse) presento un’attività alla LIM in cui mostro una serie di mandala più o meno complessi in cui compaiono molti angoli. Chiamo alla LIM e chiedo a ciascuno di segnare gli angoli individuati. Alcuni di questi sono “ingannevoli” ossia non sono angoli perché non sempre un segmento si ricongiunge ad un altro segmento ma bensì a una linea curva. In questo modo impariamo subito a discriminarli e arriviamo alla definizione di angolo: è la parte di piano compresa tra due semirette aventi un’origine comune, cioè ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette. Sappiamo che queste due semirette sono chiamate lati dell’angolo, che il punto d’incontro è il vertice e lo spazio compreso tra le due è detto ampiezza. Su questo concetto i bambini potrebbero avere dei dubbi quindi procedo con un altro esempio. A tutta LIM mostro un esempio concreto che mi consente di riflettere sul significato di angolo ma allo stesso tempo di riportare alla memoria quanto affrontato in terza. Presento la seguente immagine:

e chiedo loro di indicare quanti angoli si vedono. Cerco di sollecitare i bambini ad andare oltre all’evidenza e quindi di provare a percepire le differenze. Individuano quattro angoli. Siamo certi di vederli, notiamo il vertice, i lati e le ampiezze. In base ad esse possiamo fare anche una classificazione: ci sono due angoli acuti e due ottusi. Chiedo loro di rappresentare sul quaderno e poi colorare in maniera differente i diversi angoli individuati. Ma oltre a questo riusciamo a percepire altre rotazioni possibili? Altri angoli? Piano piano individuano quattro angoli piatti, poi quattro angoli concavi e infine quattro angoli giro.


Questa interessante attività (proposta nel libro “Geometria” AA.VV. , Pitagora Editrice Bologna) mi consente di far riflettere ancora una volta sul concetto di ampiezza e riprendere in mano concetti già introdotti. Riflettiamo anche quanto la lunghezza dei lati di un angolo non sia determinante nella misurazione della sua ampiezza. Propongo una serie di angoli di dimensioni diverse (per lato) ma con le stesse ampiezze. Questo mi consente di far notare ai bambini che l’ampiezza è qualcosa di più rispetto alla convenzione di colorare l’angolino accanto al vertice ma è invece proprio tutto quello spazio. Alla LIM possiamo spostare e sovrapporre i disegni per apprezzare quanto osservato:

 

Facciamo anche una serie di giochi alla LIM in cui i bambini devono ordinare dal più ampio al meno ampio (o viceversa) una serie di angoli facendo caso, ancora una volta, quanto la lunghezza dei lati non sia determinante. Per ora stiamo ancora lavorando “a occhio” quindi senza utilizzare il goniometro. Il nostro punto di riferimento è sempre l’angolo retto.

Dopo esserci sgranchiti la mente con questi esempi riprendiamo in mano il concetto di angolo concavo e convesso. Qualcuno ricorda mentre altri si confondono. “Bambini, è normale. Lo scorso anno li abbiamo solo introdotti ma adesso approfondiremo e consolideremo. Vi svelerò anche qualche trucco per ricordare i nomi… perché è normale confondersi. Intanto prendete la matita e il righello” – “Maestra, ma quando lo usiamo il goniometro? Ce lo farai usare anche quest’anno?” – “Si tratterà di misurare e disegnare angoli… secondo te quale strumento vi farò usare?“.  I bambini sono impazienti e l’utilizzo degli strumenti è una di quelle cose che più li entusiasma anche quando, a parer loro, le cose sembrano difficili. Ma, come dico spesso loro, è una questione di allenamento, è come andare in palestra, bisogna fare pratica e fare sempre tutto con concentrazione attiva, riflettendo su ciò che si fa e procedendo per algoritmi… ossia seguendo le procedure. Poi tutto diventa semplice. “La prima volta che abbiamo giocato con la rotazione vi siete disperati ma già la seconda volta andava meglio. Vi prometto che prima di Natale effettuerete in autonomia una rotazione speciale e sarete soddisfatti del vostro lavoro!“.  A questo punto però ci occorre fare una puntualizzazione: gli angoli che abbiamo osservato hanno sempre riguardato una precisa parte del piano ma non dobbiamo dimenticare che gli angoli in rapporto tra di loro sono sempre due e opposti. Richiamo così il concetto di concavo e convesso. Ricordano le attività proposte lo scorso anno. Sfogliando il quaderno riescono subito a reperire le informazioni e l’esperienza effettuata. Loro tendono a considerare l’angolo convesso come angolo interno e quello concavo come esterno. Puntualizzo che non essendo una figura piana, per come lo rappresentiamo noi non possiamo parlare di interno o esterno. Al limite, se consideriamo gli angoli di una figura geometrica piana… allora possiamo avere un punto di riferimento simile ma senza confonderci. Dobbiamo infatti chiamare in causa i prolungamenti dei lati. Ricordiamo che i lati sono delle semirette e quindi teoricamente continuano all’infinito da una parte e l’altra, prolungandosi. Alla lavagna mostro alcuni disegni in cui faccio prolungare i lati e osserviamo le differenze. Quando i prolungamenti cadono all’interno dell’angolo stiamo prendendo in considerazione l’angolo concavo mentre se sono all’esterno si tratta dell’angolo convesso. “Noi solitamente prendiamo in considerazione quello convesso ma sappiate che esiste sempre anche quello opposto, ossia quello concavo. Quindi anche se in seguito non lo prenderemo in esame… sappiate che c’è.“. Propongo un piccolo esempio usando lo strumento Goniometro della LIM e misuro un angolo convesso che risulta di 80°. Chiedo quanto misurerà secondo loro il suo angolo concavo. Resto piacevolmente stupita quando diversi alunni rispondono con sicurezza 280° . Ricollegano il tutto all’esperienza fatta con le rotazioni di un segmento “Maestra, perché quando ruota completamente misura 360°… che sono anche 90° per 4… e quindi siccome qui abbiamo una rotazione di 80° basta calcolare la differenza e trovo quanto misura l’altra parte concava!“. Poi venitemi a dire che questa non è matematica e non merita altrettanta importanza! Molto soddisfatta delle risposte acute dei mie alunni (forse sto seminando bene… mi dico) procediamo sul quaderno e fissiamo l’esperienza.

Finalmente arriva la giornata del goniometro.  Ricordiamo che il goniometro ci consente di misurare l’ampiezza di un angolo,  l’unità di misura è il grado (che indichiamo con il pallino in alto ° accanto al numero indicato nel semicerchio o cerchio del goniometro), esistono due tipi di goniometro (uno a semicerchio che misura 180° e uno a cerchio da 360°) e ricordiamo anche perché, c’è un punto centrale importante per procedere alla misurazione e dobbiamo sempre tenere in considerazione lo zero e uno dei lati dell’angolo da misurare. Alcuni di essi sono preoccupati, temono di non ricordare niente! Per spazzare via la paura propongo esempi alla LIM con lo strumento goniometro mentre loro hanno in mano il loro. Ricordo il procedimento e tutto sembra meno difficile. Per rassicurarli propongo loro una semplice scheda che focalizza l’attenzione sul procedimento da eseguire per misurare al meglio e poi propone alcuni esercizi di rinforzo. Sembrano sollevati. Finalmente possiamo iniziare a lavorare sul quaderno per misurare e classificare gli angoli con connessione di causa.  Per consolidare il lavoro svolto il terza sulla classificazione, propongo un semplice esercizio: alla LIM disegno alcuni angoli a partire dall’angolo retto e loro sul quaderno dovranno riprodurli, misurarli e poi classificarli. Ricordiamo così che l’angolo che misura 90° è il retto, quelli che misurano meno di 90° sono detti acuti mentre i maggiori sono gli ottusi. Procediamo così in serenità. In effetti ricordano tutto e quasi tutti riescono al primo tentativo a misurare con precisione. I bambini incerti possono contare sul compagno di banco.

Lo step successivo è riuscire a disegnare un angolo di una determinata ampiezza utilizzando il goniometro. “Lo scorso anno abbiamo imparato ad utilizzare il goniometro per misurare l’ampiezza degli angoli disegnati mentre oggi vi insegno a disegnare un angolo che ha una certa ampiezza con l’aiuto del goniometro. Non è difficile, basta stare attenti sul procedimento e riflettere su quanto si sta facendo“.  Come sempre, io alla LIM mentre loro osservano e intervengono, poi loro sul quaderno. Disegno una semiretta orizzontale. Dico di voler disegnare un angolo acuto di 45° quindi mostro loro come posizionare il goniometro ossia sistemando il punto centrale sull’estremità sinistra della semiretta (che sarà il lato del nostro angolo) e poi andando a cercare sul semicerchio graduato i 45°. Segnare un puntino con la matita sui 45°, togliere il goniometro, prendere la riga e tracciare l’altro lato che parta del primo lato e prosegua per il puntino segnato. Verificare quanto disegnato rimisurando l’ampiezza ottenuta. Misura 45°? L’angolo è minore di 90°? Ok, abbiamo lavorato bene. A questo punto propongo l’esercizio da fare sul quaderno. Ecco come lavorano:

Capita che qualche bambino indichi l’ampiezza ma poi nel disegno salti fuori un angolo diverso: ampiezza di 160° ma il disegno risulta essere un angolo acuto. Questo mi consente di farli riflettere ulteriormente: “Dopo aver disegnato confrontate il risultato. Se l’ampiezza è 160° è ovvio che dovrete avere un angolo ottuso. Se risulta acuto (e a occhio nudo riuscite a distinguerlo) significa che qualcosa nell’utilizzo dello strumento è andato storto“.  Molti di loro imparano così a ragionare e auto-correggersi. Molto bene!

Ultimo giorno di scuola prima delle vacanze di Natale. “Vi avevo promesso che sareste riusciti a lavorare serenamente con la rotazione, giusto? Oggi vi propongo un albero di Natale speciale. Questa volta però ci aiuterà anche il goniometro “.  Come procediamo?

  1. Tracciamo una linea orizzontale da 10 centimetri sulla parte bassa centrale del quaderno.
  2. Con il goniometro misuriamo un’ampiezza di 70° alle due estremità e tracciamo i due lati a formare un triangolo.
  3. Misuriamo l’ampiezza del vertice superiore del triangolo isoscele scaturito. Se misura 40° abbiamo lavorato bene (70 + 70 + 40 = 180°… ma questa è un’altra storia eh)
  4. Procediamo a ruotare come imparato a fare con il quadrato e il gioco è fatto!
  5. Coloriamo alternando due tonalità di verde e poi arricchiamo il nostro albero con i dettagli.

Ecco la pagina del quaderno virtuale che condivido con i genitori e gli alunni della mia classe:

 

Avevo ragione: tutti riescono a portare a termine e nei tempi stabiliti il loro lavoro ma soprattutto sono soddisfatti di essere riusciti in un’impresa che sino a poche settimane fa consideravano impossibile! Ora disegnano utilizzando gli strumenti con una certa padronanza, riescono a correggere gli errori, provano piacere nel disegnare figure geometriche e forse… hanno capito che la geometria è proprio una bella avventura 🙂

La finestra sull’albero e maestra Michela augurano a tutti voi un felice anno nuovo e buonissime vacanze di Natale. Il nuovo decennio ci attende carico di entusiasmo e nuove avventure scolastiche!

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